Teoria cinetica molecolare: equazione di Clausius-Krönig

Le leggi sui gas sono confermate da una teoria generale nota come teoria cinetica molecolare che descrive tutti i fenomeni relativi ai gas. Nella teoria cinetica molecolare si assume  a modello un gas ipotetico denominato gas ideale o gas perfetto.

Gas ideali

Un gas si definisce tale quando:

  1. è formato da molecole in costante e disordinato movimento, le quali, anche se dotate di massa, hanno un proprio volume che è trascurabile rispetto a quello del recipiente in cui sono contenute
  2. tra le sue molecole e tra queste e le pareti del recipiente non esistono forze né di attrazione né di repulsione
  3. gli urti tra le molecole e fra esse e le pareti del recipiente sono perfettamente elastici, nel senso che dopo ogni collisione l’energia cinetica, definita dall’equazione:

E = ½ mv2 ( dove m è la massa e v la velocità) rimane inalterata

4. l’energia cinetica delle molecole e quindi anche la loro velocità media è direttamente proporzionale alla temperatura del gas

Consideriamo un recipiente di forma cubica con spigolo l, mantenuto a temperatura costante, e supponiamo che contenga una sola molecola di gas ideale la cui massa sia m e la velocità media u.

Velocità quadratica media

teoria cinetica molecolare 1 da ChimicamoPoiché la velocità è una grandezza vettoriale essa è scomponibile nei tre vettori vx , vy e vz lungo i tre assi x, y e z. Applicando il teorema di Pitagora ai tre vettori si ha:

v2 = vx2 +  vy2 + vz2 dove v2 è detta velocità quadratica media. Quando la molecola urta contro la parete del recipiente la quantità di moto da essa posseduta lungo la direzione dell’asse x vale:

mvx ( si ricordi che: massa · velocità = quantità di moto)

Essendo l’urto perfettamente elastico, rimane inalterata nella sua intensità, e quindi essa rimbalzando sulla parete conserva la stessa quantità di moto che vale – mvx dato che è cambiato il verso di tale grandezza. Pertanto per ogni urto su una parete del recipiente la variazione della quantità di moto è data da:

mvx – (-mvx) = 2 mvx

poiché fra un urto e quello immediatamente successivo sulla parete deve percorrere lo spazio 2l ( dove l è il lato del recipiente cubico) , il tempo t che passa fra le due collisioni della molecola sulla medesima parete è uguale a:

t = 2l/vx

Se facciamo il rapporto fra la variazione della quantità di moto della molecola ad ogni urto sulla parete e il tempo necessario affinché ogni uso si verifichi e cioè:

variazione della quantità di moto/ tempo= 2 mvx/ 2l/vx = mvx2/l

tale equazione rappresenta la variazione della quantità di moto della molecola nell’unità di tempo ed ha la dimensione di una forza; infatti l’equazione dimensionale di mvx2/l è riconducibile a: [Kg m2/s2/ m = Kg m2/s2 1/m = Kg m/s2 = Kg m s-2] che è appunto la definizione di Newton.

Forza e pressione

Questa è allora la forza f che ad ogni urto la molecola esercita sulla parete del recipiente. Se nel recipiente sono contenute Ni molecole uguali, la forza totale che esse esercitano contemporaneamente sulla parete lungo l’asse delle x è pari a:

Fx = Ni mvx2/l

Dato che la pressione è una grandezza fisica che viene definita come la forza che agisce sull’unità di superficie, la pressione Px esercitata dalle Ni molecole contro la parete la cui superficie è data da l2 è data da:

Px = Fx/l2

E quindi: Px = Ni m vx2/l3

Ma l3 è uguale al volume V del recipiente e pertanto:

Px = Ni m vx2/V  (1)

Prendendo in esame le altre due componenti vy e vz con un procedimento del tutto analogo a quello seguito per la componente vx si ha:

Py = Ni m vy2/V  (2)

e  Pz = Ni m vz2/V  (3)

in cui Py e Pz rappresentano, rispettivamente, la pressione esercitata dalle Ni molecole sulle pareti del recipiente sull’asse delle y e sull’asse delle z.

indicando con P la pressione totale esercitata dalle Ni molecole contenute nel recipiente, deve essere verificata la condizione:

P = Px = Py = Pz in quanto, per la legge di Pascal, la pressione esercitata da un fluido è la stessa in tutte le direzioni. Pertanto deve essere verificata anche la condizione:
vx2 = vy2 = vz2. Sulla base dell’equazione:

v2 = vx2 + vy2 + vz2

Devono essere verificate anche le condizioni:

v2 = 3 vx2 e analogamente v2 = 3 vy2; v2 = 3 vz2

dalle quali risulta:

vx2 = v2/3 e, analogamente   vy2 = v2/3 ; vz2= v2/3

sostituendo ognuna di queste ultime relazioni nella (1) , (2) e (3) otteniamo per tutte lo stesso risultato e cioè:

P = Ni m v2/ 3V

Dalla quale PV = 1/3 Ni m u2

Se moltiplichiamo e dividiamo per 2 il secondo membro dell’equazione otteniamo:

PV = 2/3 Ni m v2/2

Queste ultime due equazioni sono note con il nome di equazione di Clausius-Krönig, che rappresentano l’equazione fondamentale dedotta dalla teoria cinetica molecolare applicata allo stato gassoso.

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