Fluido: proprietà di trasporto, legge di Fourier, legge di Fick

Un fluido non si trova in condizioni di equilibrio se esiste un gradiente di una delle grandezze intensive che caratterizzano lo stato termodinamico del sistema stesso cioè della pressione, della temperatura o delle concentrazioni delle diverse specie, nel caso di una miscela.

Un gradiente di pressione provoca infatti un moto di insieme della massa fluida delle zone a pressione maggiore a quelle a pressione minore. A tale moto si oppone una resistenza interna la cui entità si può esprimere tramite la legge di Newton:
τ = –  μ δ u_x / δz    (1)

dove τ rappresenta lo sforzo tangenziale, forza per superficie unitaria che si manifesta fra due strati di fluido che scorrono parallelamente l’uno sull’altro, u_x è la componente della velocità del fluido nella direzione del moto, μ è una grandezza fisica caratteristica del fluido chiamata coefficiente di viscosità.

Legge di Fourier

Un gradiente di temperatura dà luogo a un trasporto di calore esprimibile mediante la legge di Fourier:

q = – k δT/δz    (2)

dove q rappresenta la quantità di calore trasmessa per unità di tempo e di superficie normale alla direzione dell’asse z; k è una grandezza fisica caratteristica del fluido chiamata conducibilità termica.

Legge di Fick

In una miscela non uniforme ha luogo un trasporto dei diversi componenti presenti nella miscela dalle zone a più alta concentrazione a quella a minore concentrazione in accordo con la legge di Fick:

J_i = – D_i δC_i/ δz   (3)

Dove J_i rappresenta il numero di moli che diffondono per unità di tempo e unità di superficie normale alla direzione dell’asse z. D_i è un coefficiente caratteristico dei componenti la miscela detto coefficiente di diffusione.

Si noti che la diffusione in una miscela fluida coinvolge tutti i componenti in essa presenti. Infatti se si fa riferimento a una miscela binaria l’esistenza di un gradiente di concentrazione di uno dei componenti implica l’esistenza di un gradiente dell’altro nella direzione opposta.

Nel caso di miscele gassose le relazioni (1), (2) e (3) si possono interpretare sulla base di un modello fisico unitario basato sull’ipotesi che le molecole si possono assimilare a sfere rigide. Si consideri a tale proposito una proprietà generica Y  che vari da punto a punto nello spazio.

Poiché le molecole gassose sono soggette a dei moti casuali, ne consegue che la proprietà in esame verrà trasportata in seno alla massa fluida per effetto di tali moti. Infatti è legittimo assumere che una molecola subisca tra due collisioni uno spostamento di una lunghezza media λ detta libero cammino medio e che durante tale spostamento trasporti il valore della proprietà che corrisponde al punto di origine dello spostamento stesso.

Ne  consegue che M(Y) cioè l’ammontare della proprietà trasportata per unità di tempo e superficie fra i punti con coordinate (z_o + ½ λ) e (z_o – ½ λ) è  espresso da:

M(Y) = nṽ [(z_o – ½ λ) – Y(z_o + ½ λ) ≅ – nṽλ (δY/δz) _zo  (4)

Essendo n il numero di molecole per volume unitario e ṽ la loro velocità media. Il prodotto nṽ esprime infatti il flusso di molecole (molecole fluenti / tempo · superficie). L’equazione (4) è detta del trasporto e può essere direttamente applicata ai fenomeni precedentemente esaminati.

In particolare la resistenza interna in un gas è dovuta a uno spostamento di molecole da zone in cui il moto convettivo con velocità u è più rapido a zone in cui tale velocità è più lenta. In tale spostamento le molecole trasferiscono parte della loro quantità di moto (mu) associata al flusso di insieme. Nella (4) quindi a Y si deve sostituire mu ( dove m è la massa delle molecole) mentre M(Y) si identifica con la resistenza interna:

τ  – nṽ mλ δu/δz

in base al modello considerato il coefficiente di viscosità risulta proporzionale al prodotto nṽ mλ.

La conduzione del calore è invece associata al trasporto dell’energia cinetica delle molecole che a sua volta risulta essere espressa dal prodotto c_vmT essendo c_v il calore specifico.

A M(Y) si deve sostituire q per cui si ottiene:

q ≅ nṽ m c_v λ δT/δz

da cui risulta che la conducibilità termica è proporzionale al prodotto nṽ m c_v λ.

Infine per quanto riguarda la diffusione si può far riferimento a una miscela di due gas a P e T costanti e tali per cui n = n₁ + n₂ sia a sua volta costante. In questo caso la proprietà trasportata si identifica rispettivamente con le frazioni n₁/n ed n₂/n delle due specie. M(Y) corrisponde invece alle molecole che diffondono per unità di tempo e di superficie. Quindi:

J₁ ≅ – nṽλ δn₁ δz = – ṽλδn₁ δz

J₂ ≅ – ṽλδn₂ δz

Inoltre poiché n₁ + n₂ = costante risulta che:

(dn₁/dz) = – (dn₂/dz)

e pertanto il flusso totale risulta nullo.