Principio di Fermat e applicazioni

Il principio di Fermat, enunciato dal matematico francese Pierre de Fermat nel 1650, è detto anche “principio di minor tempo”. Costituisce un modo per spiegare la riflessione e la rifrazione come conseguenza di un unico principio e dalla cui applicazione deriva la legge di Snell

Secondo il principio di Fermat:

un raggio di luce propagandosi da un punto all’altro segue un percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo è quello più breve.

Se un raggio di luce va dal punto A al punto B segue un percorso rettilineo. Se vi sono condizioni al contorno per le quali la luce rimbalza su uno specchio o attraverso un pezzo di vetro nel suo percorso da A a B la luce prende il percorso che richiede il minor tempo.

Riflessione e principio di Fermat

Si consideri un raggio luminoso che parte da A, giunga su uno specchio, e dopo essere stato riflesso arrivi a B

La distanza L tra A e B è data da:

L = √a²+ x² + √b²+ (d-x)²

Per il principio di Fermat la lunghezza del percorso deve essere minima. Pertanto si deve verificare che:

dL/dx = 0

Derivando L rispetto a x si ha:

dL/dx = ½ ( 2x/√a²+ x²)  + ½  2(d-x)(-1)/ √b²+ (d-x)² = 0

Questa equazione può essere riscritta come:

x/√a²+ x² = d-x/√b²+ (d-x)²

ovvero sen θ₁ = sen θ_r

ossia:

θ₁ = θ_r che è la legge della riflessione

Rifrazione e principio di Fermat

Il tempo di percorrenza di un raggio luminoso che parte da A e giunga a B passando attraverso due mezzi differenti.

Il tempo necessario affinché il raggio partendo da A giunga a B è:

t = √a²+ x²/v₁ + √b²+ (d-x)²/v₂

Analogamente al caso precedente derivando rispetto a x si ha:

dt/dx = 0 = sen θ₁/v₁ – sen θ₂/v₂

ovvero sen θ₁/v₁  =  sen θ₂/v₂

Tenendo conto che l’indice di rifrazione, indicato generalmente con la lettera n si definisce, in termini di velocità della luce, come:

n = velocità della luce nel vuoto/velocità della luce nel mezzo

si ha:

v₁= c/n₁ e v₂= c/n₂

sen θ₁ · n₁/c = sen θ₂ n₂ /c

ovvero

sen θ₁ · n₁ = sen θ₂ n₂

da cui:

n₁ / n₂ = sen θ₂ / sen θ₁

che è l’espressione della legge di Snell

Applicazioni nella vita reale

Quando si vede il sole al tramonto in realtà esso è già sotto l’orizzonte che è  la linea apparente che separa la terra dal cielo.

Questo fenomeno è dovuto al fatto che la pressione e la densità dell’aria diminuiscono salendo in quota. La luce ha una velocità minore nell’aria rispetto a quella che ha nel vuoto. La luce del sole, quindi può arrivare a puntare oltre l’orizzonte più rapidamente se, invece di andare semplicemente in linea retta, evita le regioni a maggiore densità dove passa più lentamente.

Un altro fenomeno naturale è il miraggio che si verifica quando i raggi del Sole incontrano uno strato d’aria più caldo rispetto agli strati sovrastanti dove l’aria è più fredda ed ha una densità maggiore.

In particolari condizioni climatiche percorrendo una strada asfaltata, può capitare di vedere il riflesso delle macchine in lontananza sull’asfalto e avere l’impressione che vi sia una pozzanghera che riflette gli oggetti sufficientemente distanti.

In realtà ciò che si vede è la luce del cielo che si riflette sulla strada. L’aria è molto calda appena sopra la strada ma è più fresca più in alto ed è diversa la sua densità. In queste condizioni la luce proveniente dal sole segue così una traiettoria curva deviando dal suo percorso rettilineo creando una falsa immagine invertita e posta sotto l’orizzonte