Pendolo, forza di ripristino

Con il termine pendolo si intende un corpo sospeso a un punto fisso privo di attrito tramite un’asta considerata priva di massa di lunghezza L in grado di oscillare rispetto alla sua posizione di equilibrio. Se un pendolo viene messo sollecitato dalla sua posizione di equilibrio in modo che oscilli il suo movimento sarà periodico.

Si definisce periodo del pendolo T la quantità di tempo necessaria per completare un ciclo completo tra le due posizioni estreme. Per descrivere il moto del pendolo si può far uso di un’altra quantità che è la frequenza delle oscillazioni f che si verificano per unità di tempo ed è data dall’inverso del periodo: f = 1/T.

moto del pendolo 1 da Chimicamo
moto del pendolo

La distanza massima di spostamento della massa dalla sua posizione di equilibrio è definita come l’ampiezza dell’oscillazione. Il periodo di un pendolo non dipende dalla massa del corpo sospeso, ma solo dalla lunghezza della corda. Due pendoli con corpi sospesi aventi masse diverse ma con la stessa lunghezza dell’asta L avranno lo stesso periodo.

Due pendoli con lunghezze diverse dell’asta hanno periodi diversi: il pendolo con la corda più lunga avrà il periodo più lungo. Assumendo che l’oscillazione sia di un angolo piccolo, la frequenza e il periodo del pendolo sono indipendenti dall’ampiezza dello spostamento angolare iniziale pertanto un pendolo ha lo stesso periodo indipendentemente dal suo angolo iniziale.

Pendolo e forza di ripristino

Quando un pendolo viene spostato dalla sua posizione di equilibrio esso inizia a oscillare e il movimento lo porta oltre la posizione di equilibrio.  Nel corso dell’oscillazione cambia la sua direzione in modo che sia diretto verso la posizione di equilibrio ed è soggetto a una forza detta forza di ripristino che riporta il pendolo verso la sua posizione di equilibrio a θ = 0.

La forza netta sul corpo è tangente all’arco ed è uguale a − mg sinθ e la tensione nella corda annulla esattamente la componente mg cosθ parallela alla corda dove g è l’accelerazione di gravità.

forza di ripristino da Chimicamo
forza di ripristino

Se la forza di ripristino è direttamente proporzionale allo spostamento, allora abbiamo un semplice oscillatore armonico. Poiché per piccoli angoli inferiori a circa 15° si può approssimare che θ ≈ sin θ allora per angoli inferiori a circa 15°, la forza di ripristino F vale:
F ≈ – mg θ

Detto s lo spostamento espresso come lunghezza dell’arco quando θ è espresso in radianti, la lunghezza dell’arco in un cerchio è correlata al suo raggio ovvero a L secondo la relazione s = L θ pertanto:
θ = s/L

Per piccoli angoli, quindi, l’espressione per la forza di ripristino è:
F ≈ – mg s/L
Questa espressione è del tipo F = – kx dove k, la costante di forza è data da mg/L e lo spostamento x è pari a s. Per angoli inferiori a circa 15°, la forza di ripristino è direttamente proporzionale allo spostamento e il pendolo semplice è un oscillatore armonico.

Il periodo di un oscillatore armonico è dato dall’espressione:

periodo di un pendolo 1 da Chimicamo
periodo di un pendolo

questo risultato indica che i fattori che influenzano il periodo di un pendolo sono la lunghezza dell’asta e l’accelerazione dovuta alla gravità. Il periodo è invece indipendente da altri fattori, come, ad esempio, la massa. Come per gli oscillatori armonici, il periodo T per un pendolo è quasi indipendente dall’ampiezza, specialmente se θ è inferiore a circa 15°.

Se la lunghezza dell’asta di un pendolo è nota con precisione, può essere utilizzata per misurare l’accelerazione dovuta alla gravità.

Il pendolo nella vita quotidiana

Tra gli innumerevoli esempi vi è l’orologio a pendolo inventato nel 1656 da Christiaan Huygens, dagli studi di Galileo Galilei, che fino agli anni ’30 dello scorso secolo, è stato il segnatempo più utilizzato al mondo fino all’invenzione dell’orologio al quarzo nel 1927.

La palla da demolizione, nota come wrecking ball, utilizzata per abbattere edifici dagli anni ’30 agli anni ’70 in cui il corpo in acciaio ha una massa da 500 a 6000 kg. Risulta particolarmente efficace per le strutture in cemento e muratura, poiché questi materiali si sgretolano quando vengono colpiti dalla palla.

Un metronomo è un dispositivo che produce un clic a intervalli regolari di tempo e utilizzato dai musicisti per mantenere un tempo costante in modo da non accelerare o rallentare inavvertitamente.
L’esempio più noto sono le campane in cui il sistema è composto da pendoli accoppiati: la campana e il batacchio. Sia la campana che il batacchio sono pendoli fisici e il sistema a campana ruota su un piano verticale perpendicolare all’asse di rotazione. Quando il batacchio si scontra con la superficie interna della campana produce un suono.

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