Oscillatore armonico: trattazione classica e quantomeccanica

L ‘oscillatore armonico è uno dei sistemi meccanici più importanti della fisica: esso è l’idealizzazione di un sistema costituito da un corpo di massa m che si muove sotto l’azione di una molla.

In uno spazio in cui non sono esercitate forze il momento e l’energia cinetica di una particella sono costanti, tuttavia, nella maggior parte dei casi, la particella subisce l’azione di una forza.

Il diagramma di energia è utile per la comprensione del comportamento della molla sia da un punto di vista classico che quantistico.

Da un punto di vista della fisica classica la particella si muove tra i due estremi –a e a che vengono denominati punti di svolta in quanto in essi avviene la variazione della direzione del moto. In questi punti la particella si ferma istantaneamente e l’energia cinetica diviene pari a 0 e l’energia potenziale è pari all’energia totale. Quando la particella passa attraverso l’origine, l’energia potenziale è pari a zero e l’energia cinetica è pari all’energia totale. Complessivamente, poiché la particella si muove avanti e indietro il suo momento assume valori da zero al suo massimo valore.

Equazione di Schrödinger

Da un punto di vista quantistico le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per l’oscillatore armonico mostrano che l’energia è quantizzata e che gli stati permessi sono dati da E = (n + 1/ 2) hν dove ν è la frequenza dell’oscillatore a n = 1, 2, 3…

I livelli energetici sono separati da hν così come Planck aveva ipotizzato, ma il sistema ha una energia allo stato fondamentale pari a 1/2 hν. I livelli energetici dell’oscillatore armonico sono distanziati uniformemente

Se si misura la posizione della massa, per esempio scattando una fotografia dell’oscillatore, non sempre si ottiene lo stesso risultato. Anche in condizioni ideali, ottenute eliminando le fluttuazioni termiche e operando a temperatura di zero gradi , la massa sarebbe ancora in movimento a causa della sua energia al punto zero. Tuttavia, se riportiamo i risultati delle misurazioni successive, troviamo che essi iniziano ad apparire ragionevolmente ordinati ed in particolare, la frazione delle misurazioni per cui la massa è un certo intervallo, s,  proporzionale all’area della striscia di larghezza s che  giace sotto la curva mostrata in figura

evidenziata in blu.

Curva di distribuzione di probabilità

Questa curva è detta di distribuzione di probabilità.  Poiché la probabilità di trovare la massa in un qualunque posto è pari a 1, l’altezza della curva deve essere scelta opportunamente. Si deve avere che  l’area sottostante la curva sia unitaria. Con questa convenzione la probabilità di trovare la massa nell’intervallo s è pari all’area della striscia ombreggiata. Risulta che la distribuzione di probabilità è semplicemente la funzione d’onda quadrata.

Secondo le leggi della fisica classica, se si conosce lo stato di un sistema, ad esempio la posizione e la velocità di un corpo si possono prevedere i risultati delle misurazioni successive. In quantomeccanica, tuttavia, l’oscillatore armonico non può essere del tutto a riposo in quanto esso si trova al suo stato energetico fondamentale 1 /2 hν.  Inoltre, non si può prevedere il risultato di misurazioni precise ma solo la probabilità che esse siano comprese in un dato intervallo.

Secondo la fisica classica un oscillatore armonico si muove più velocemente nei pressi dell’origine e impegna la maggior parte del suo tempo in prossimità dei punti di svolta dove rallenta.

La figura, tuttavia, suggerisce il contrario: il luogo più probabile trovare la massa è all’origine in cui si sta muovendo più veloce.

Inoltre  c’è un aspetto ancora più bizzarro alla soluzione quantistica: la funzione d’onda si estende oltre i punti di svolta. Ciò significa che in una certa frazione di misurazioni, la massa si trova in un luogo dove non poteva andare se sono rispettate le leggi classiche.

Tunneling

La penetrazione della funzione d’onda nella regione classicamente proibita dà luogo ad un fenomeno puramente quantistico chiamato tunneling.

Se la barriera di energia non è troppo elevata, per esempio se la barriera di energia è un sottile strato di isolante in un dispositivo a semiconduttore, allora una particella può passare da una regione consentita dalla fisica classica ad un’altra, attraverso una regione che è proibita dalla fisica classica.

La descrizione quantistica dell’oscillatore armonico appare più condivisibile per stati a livello energetico maggiore. Ad esempio in figura sono rappresentate la funzione d’onda a la probabilità di distribuzione per lo stato n = 10

In cui si evidenziano analogie con il comportamento classico. La massa infatti può essere osservata più facilmente vicino a un punto di svolta che non nei pressi dell’origine come ci aspettiamo. Inoltre la frazione di tempo che essa trascorre fuori dei punti di svolta è minore rispetto a quella dello stato fondamentale.