Particella in una scatola monodimensionale: soluzioni, probabilità, grafici

Il modello di una particella in una scatola monodimensionale è utilizzato per trovare soluzioni approssimative per sistemi fisici più complessi.
d²φ / dx² = – 2m/ħ² [E – U(x)] φ(x)

dove φ(x) è la funzione d’onda, m è la massa della particella, ħ è la costante di Planck ridotta ( = h/2π) E è l’energia totale della particella, U(x) è l’energia potenziale della particella.

Soluzioni

Per ottenere le soluzioni di questa equazione si devono fare delle assunzioni; le condizioni principali che devono essere imposte sono:

1)      φ(x) → 0 quando x → ± ∞

2)      φ(x) → se x è in un posto fisicamente incompatibile

3)      φ(x)  è una funzione continua

4)      φ(x) è una funzione normalizzata

Consideriamo una particella che si trova in una scatola rigida di lunghezza L con pareti impenetrabili; un tale modello viene detto anche particella in una buca di potenziale. Come si può vedere dalla figura

l’energia potenziale può assumere due valori:

U(x) = 0 se 0 ≤ x ≤ L

U(x) = ∞ se x < 0 o x > L

Poiché la particella non può trovarsi all’esterno della scatola solo la prima delle due equazioni costituisce la nostra equazione di riferimento.

Tale modello semplifica l’equazione di Schrödinger in quanto il termine U(x) è eliminato. Quindi l’equazione d’onda della particella diventa:

d²φ / dx² = – 2m/ħ²  E φ(x)

Ponendo B² = 2mE/ħ² 

Si ha:

d²φ / dx² = B² φ(x)

Un’ipotesi per trovare le soluzioni all’equazione d’onda è che:

φ(x) = sin Bx

Dalla prima condizione sappiamo che:

φ(x = L) = sin BL = 0

quindi BL = nπ il che implica che B = nπ/L

dove n = 1,2,3…

si ha quindi:

φ(x) = A sin nπx/L

dove A è una funzione dell’ampiezza. Per determinare l’ampiezza consideriamo la quarta condizione per la quale φ(x) è una funzione normalizzata ovvero

∫ ∣ φ(x)∣² = 1

dove 0 e L sono i limiti di integrazione. Ciò implica che la probabilità di trovare la particella in in qualunque posto sull’asse x è del 100%.

Si può dimostrare che A = √2/L e pertanto l’equazione d’onda per lo stato quantico  n-simo vale:

φ_n (x) = √2/L sin nπx/L   per 0 ≤ x ≤ L

mentre φ_n (x) = 0  per x < 0 o x > L

Probabilità

La probabilità P_n di trovare la particella in una qualunque posizione sull’asse x è data dal quadrato di φ_n (x):

P_n (x) = ∣ φ(x)∣² = 2/L  sen² nπx/L

Questa equazione di consente di sapere che vi sono regioni dette nodi  nelle quali la probabilità di trovare la particella è pari a zero.

Supponiamo di voler trovare la probabilità di trovare la particella nello stato quantico 2 tra x = L/4 e x = 3L/4 essendo la scatola lunga 1 Å

Il problema può essere risolto sia analiticamente:

P₂(x) = ∫ 2/L  sen² nπx/L

Dove i limiti di integrazione sono L/4 e 3L/4.

Tale problema può essere più facilmente risolto graficamente considerando il grafico della probabilità della funzione d’onda:

in cui risulta, per ragioni di simmetria P₂(x) = ½ . La risoluzione grafica può essere praticata solo per funzioni la cui distribuzione è simmetrica.