Leggi di Keplero, esercizi

Le leggi di Keplero relative alle leggi che regolano il moto dei pianeti furono proposte dall’astrologo e matematico tedesco Johannes Kepler che le dedusse dalle numerose osservazioni effettuate dall’astronomo danese Tycho Brahe (1546-1601) che fu l’ultimo dei grandi astronomi a fare osservazioni senza l’uso del telescopio.

Le leggi di Keplero diedero un forte impulso alla teoria Copernicana o eliocentrica secondo la quale, in opposizione alla teoria Tolemaica o geocentrica, il Sole è immobile al centro dell’Universo e la Terra è un pianeta che ruota sul suo asse intorno al Sole.

saturno
saturno

Le leggi di Keplero mostrarono come si potevano descrivere i moti dei pianeti prendendo il Sole come corpo di riferimento descrivendo le proprietà osservate senza alcuna interpretazione teorica dal momento che Keplero non conosceva il concetto di forza che solo Newton, anni dopo, ricavò con le leggi di Newton che costituiscono ancora oggi i presupposti della fisica classica.

Pertanto Newton poté ricavare le leggi di Keplero dalle sue leggi sul moto e sulla legge di gravitazione universale che, applicata alle leggi di Keplero, richiede che ciascun pianeta sia attratto dal Sole con una forza proporzionale alla massa del pianeta e inversamente proporzionale alla sua distanza dal Sole.

Enunciato delle leggi di Keplero

Le regolarità del moto dei pianeti cono conosciute come leggi di Keplero sul moto dei pianeti e possono essere così enunciate:

  • Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche aventi il Sole in uno dei due fuochi (legge delle orbite)
  • Il segmento che congiunge un pianeta con il Sole percorre aree uguali in tempi uguali (legge delle aree)
  • Il quadrato del periodo di un pianeta attorno al Sole è proporzionale al cubo della distanza media del pianeta dal Sole (legge dei periodi)
Prima legge di Keplero
Prima legge di Keplero

La prima legge di Keplero sul moto planetario implica che l’orbita di ciascun pianeta attorno al Sole sia un’ellisse con il Sole in uno dei fuochi. Si definisce perielio il punto più vicino del pianeta al Sole, mentre si definisce afelio la distanza massima del pianeta dal Sole.

La seconda legge di Keplero sul moto planetario afferma che ogni pianeta si muove in modo tale che una linea immaginaria tracciata dal Sole al pianeta percorre la stessa area nello stesso tempo.

seconda legge di Keplero
seconda legge di Keplero

Ad esempio, se si formasse una linea immaginaria dalla terra al Sole, la regione tracciata dalla linea sarebbe la stessa per ogni periodo di 31 giorni. Secondo questa legge, analoga alla legge di conservazione del momento angolare, un pianeta si muove più lentamente quando è più lontano dal Sole e si muove più rapidamente quando è più vicino.

La terza legge di Keplero sul moto planetario mette in relazione il periodo orbitale e il raggio di un pianeta con altri pianeti. La terza legge, a differenza delle prime, confronta le caratteristiche del movimento di pianeti diversi.

Esercizi sulle leggi di Keplero

  • L’orbita della Terra è lievemente ellittica, con un semiasse maggiore di 1.49598 108 Km e un semiasse minore di 1.49577 · 108 Km. Sapendo che il periodo della Terra è di 365.26 giorni calcolare quale area percorre la linea Terra-Sole in un giorno

Secondo la seconda legge di Keplero il segmento che congiunge un pianeta con il Sole percorre aree uguali in tempi uguali quindi la Terra percorre ogni giorno un’area di uguali dimensioni quindi dividendo l’area totale per il numero di giorni si conosce l’area spazzata in un giorno.
L’area totale è data da A= πab = 3.14 · 1.49598 · 108 · 1.49577 · 108 Km = 7.03 · 1016 Km2
L’area giornaliera è pari a: 7.03 · 1016 Km2/365.26 giorni= 1.92 1014 Km2/giorno

  • Titano, il più grande satellite naturale del pianeta Saturno, ha un raggio medio di 22 · 109 m e un periodo di 15.95 giorni. Iperione, altro satellite naturale di Saturno ha un raggio medio di 1.48 · 10 · 109 m. Calcolare il periodo di Iperione.

Indicando con rT il raggio di Titano, con TT il suo periodo, con rI il raggio medio di Iperione si ha:
rT = 1.22 · 109 m; TT = 15.95 giorni; rI = 1.48 · 10 · 109 m. L’incognita è TI.
Dalla terza legge di Keplero si ha:

TT2/TI2 = rT3/rI3
Sostituendo i valori noti:
(15.95)2/ TI2 = (1.22 · 109 )3/(1.48 · 10 · 109 )3
Svolgendo:

254.4/ TI2 = 0.560
Moltiplicando ambo i membri per TI2 si ha:
254.4 = 0.560 TI2
Dividendo ambo i membri per 0.560:
254.4/0.560 = TI2
454 = TI2
Da cui TI = √454 = 21.3 giorni

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