Momento angolare: equazioni, momento di una forza

Il momento angolare o momento della quantità di moto è una misura della forza che può far ruotare un oggetto attorno a un asse.

Si consideri una particella nella posizione r con un momento lineare p = mv rispetto all’origine.

Il momento angolare l è definito dal prodotto vettoriale tra  r e p ed è perpendicolare al piano che contiene r e p. Il verso è dato dalla regola della mano destra.  Si sovrappone cioè r a p attraverso l’angolo più piccolo secondo le dita piegate della mano destra: il verso del pollice eretto è quello di l

Ovvero l = r ∧ p  (1)

Formule

Il modulo del momento angolare è dato da:

l = r p senθ
dove θ è l’angolo tra r e p
L’unità di misura del momento angolare è kg·m²/s

Si può scrivere il modulo di l come:
l = (r sen θ)p = p r⊥  (2)
o come:
l = (p sen θ) r = r p⊥  (3)

dove:
r⊥ = r sen θ e rappresenta la componente  di r perpendicolare alla retta di azione d p
p⊥= p sen θ e rappresenta la componente  di p perpendicolare a r
Inoltre r⊥  è chiamato braccio del momento

L’equazione (3) mostra che solo la componente di p perpendicolare a r contribuisce al momento angolare.

Quando l’angolo θ tra r e p è di 180° non esiste componente perpendicolare infatti p⊥= p sen 0 = 0. Si verifica quindi che la retta di azione di p passa per l’origine e anche r⊥  è nullo

Momento di una forza e momento angolare

Dalla definizione di forza si ha:

F = d(mv)/dt = dp/dt dove p è la quantità di moto

Si consideri il prodotto vettoriale di r per ambo i membri di questa equazione:
r ∧ F = r ∧ dp/dt

Poiché r ∧ F è il momento di una forza rispetto all’origine si ha:
τ = r ∧ dp/dt  (4)

Derivando la (1) rispetto al tempo di ha:
dl /dt=d/dt ( r ∧ p )

Per fare la derivata di un prodotto vettoriale non bisogna invertire l’ordine dei fattori quindi:
dl/dt = (dr/dt ∧ p ) + (r ∧  dp/dt )

dr è il vettore che rappresenta lo spostamento della particella nel tempo dt quindi dr/dt è la velocità istantanea. Ricordando che p = mv si ha:
dl/dt = (v ∧ mv )+ (r ∧ dp/dt )

Poiché v ∧ mv = 0 in quanto il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo si ha:
dl/dt = r ∧ dp/dt (5)

confrontando la (4) e la (5) si ha:
τ = dl/dt

ovvero la derivata rispetto al tempo del momento angolare di una particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa