Prodotto tra vettori: esempi, esercizi
Il prodotto tra vettori può essere di tre tipi ovvero prodotto di un vettore per uno scalare, di due vettori che dà origine a uno scalare e tra due vettori che dà origine a un altro vettore
Prodotto di un vettore per uno scalare
Il prodotto di un vettore A per uno scalare k è un nuovo vettore il cui modulo è k volte il modulo di A. Il nuovo vettore ha la stessa direzione di A se k è positivo e direzione opposta se k è negativo.
Il prodotto scalare è indicato con · e quello vettoriale è indicato con ˄
Prodotto scalare tra due vettori
Il prodotto scalare tra due vettori A e B indicato con A·B è definito da:
A·B = AB cos θ
dove A è il modulo del vettore A, B è il modulo del vettore B e cos θ è il coseno dell’angolo formato dai due vettori.
Un altro metodo consiste nell’eseguire la somma del prodotto delle componenti sull’asse delle ascisse di A e B con il prodotto delle componenti sull’asse delle ordinate di A e B:
A·B = AxBx + AyBy
Molte grandezze fisiche possono essere descritte come prodotto scalare tra vettori. Esempi sono:
- Lavoro meccanico
- Energia potenziale gravitazionale
- Potenziale elettrico
- Potenza elettrica
Esempio
Il vettore A è individuato dalle coordinate -6,8 e il vettore B dalle coordinate 5,12. Calcolare il prodotto scalare tra i due vettori sapendo che l’angolo θ è 59.5°
Per poter calcolare il modulo dei vettori si applica il teorema di Pitagora:
A = √(-6)2+ (8)2 = 10
B = √(5)2+ (12)2 = 13
Da cui A·B = AB cos θ = (10)(13) cos 59.5° = 66
Allo stesso risultato si perviene applicando la formula A·B = AxBx + AyBy
A·B = (-6)(5) + (8)(12) = 66
Prodotto vettoriale tra due vettori
Il prodotto vettoriale di due vettori A e B è un vettore di modulo AB· senθ dove θ è l’angolo tra A e B e la cui direzione è perpendicolare al piano formato da A e B.
Per ottenere la direzione e il verso ci si avvale della regola della mano destra.
Allineando il pollice nella direzione e nel verso di A e l’indice nella direzione e nel verso di B, il dito medio, tenuto perpendicolare a indice e pollice, fornisce la direzione e il verso del prodotto vettoriale
Esempio
I due vettori A e B hanno modulo 1 e 6 rispettivamente. Calcolare il prodotto tra i due vettori sapendo che l’angolo è pari a π/2
Si applica la formula AB· senθ = 1·6·cos π/2 = 1·6·cos 90° = 1·6·0 = 0