Secondo la legge di Torricelli la velocità v di un fluido che fuoriesce da un foro è proporzionale alla radice quadrata della distanza verticale, h, tra la superficie del liquido e il centro del foro e l’accelerazione di gravità:
v = √2gh
In altre parole, la velocità di efflusso del fluido dal foro è la stessa che avrebbe cadendo di un’altezza h sotto gravità
Questa legge fu enunciata dal matematico e fisico italiano Evangelista Torricelli nel suo “De moto delle acque” pubblicato nel 1664.
Derivazione della legge di Torricelli
La legge di Torricelli è un caso particolare dell’equazione di Bernoulli. Quest’ultima esprime una relazione tra la velocità del fluido e la sua pressione ed è espressa come:
p + ½ ρv2 + ρgh = costante (1)
dove:
- p è la pressione assoluta
- ρ è la densità del fluido
- v è la velocità del fluido
- h è l’altezza rispetto a un punto di riferimento
- g è l’accelerazione di gravità
Si consideri un fluido durante il suo percorso dal punto 1 al punto 2 che sono due punti qualsiasi del percorso
L’equazione (1) si esprime come:
p1 + ½ ρv12 + ρgh1 = p2 + ½ ρv22 + ρgh2
dividendo ambo i membri per ρ si ha:
p1/ρ + ½ v12 + gh1 = p2/ρ + ½ v22 + gh2
Poiché p1 = p2 = p ovvero la pressione atmosferica si ha
½ v12 + gh1 = ½ v22 + gh2
Ovvero:
½ (v12 -v22 ) = g(h2 – h1)
posto h2 – h1= h e v12 -v22 = v2
si ha
v2/2 = gh
da cui v = √2gh
Condizioni
Le condizioni per le quali si verifica la legge prevedono che il foro da cui fuoriesce il fluido abbia una sezione molto piccola rispetto alle dimensioni del recipiente. Inoltre si deve trascurare la viscosità del fluido
Esercizio
Calcolare la velocità con cui fuoriesce l’acqua da un recipiente alto 100 cm che ha un foro a 10 cm dal suolo.
La distanza tra il foro e la superficie dell’acqua è di 100 – 10 = 90 cm = 0.9 m
Pertanto v = √2gh = √2 · 9.8 · 0.9 = 4.2 m/s