Accelerazione centripeta: modulo, esempio

L’ accelerazione centripeta si verifica nel moto circolare uniforme in quanto la velocità, pur rimanendo costante in modulo, cambia continuamente la direzione del vettore velocità.
Si consideri un corpo che si muove dal punto B al punto C con velocità v costante. Lo spazio percorso nell’intervallo tempo Δt è pari a Δs che è uguale, per definizione di velocità, a ΔS = vΔt

Ridisegnando i due vettori si vede che la variazione di velocità Δv= v₂ – v₁ punta direttamente verso il centro di rotazione. Questo corrisponde al centro del percorso lungo la circonferenza.
L’accelerazione è data da a = Δv/ Δt è quindi diretta verso il centro ed è detta accelerazione centripeta.

Modulo dell’accelerazione centripeta

I triangoli ABC formato dai raggi e PQR formato dai vettori velocità sono triangoli simili

Poiché v₁= v₂ e posto v₁= v₂ = v dalle proprietà dei triangoli simili si ha:
Δv/v = Δs/r

Da cui Δv = v Δs/r
Dividendo ambo i membri per Δt si ha:
Δv / Δt = (v/r)(Δs/ Δt)
Poiché Δs/ Δt= v e Δv / Δt = a

Considerando che a è l’accelerazione centripeta che chiamiamo a_c

Si ha:
a_c = v²/r

Questa formula esprime l’accelerazione di un corpo che si muove con moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio r e velocità v.

Quindi l’accelerazione centripeta è maggiore alle alte velocità e nelle curve a piccolo raggio

Esempio

La luna gira intorno alla terra facendo un giro completo in 27.3 giorni. Assumendo che l’orbita sia circolare e che abbia un raggio di 385000 km calcolare il modulo dell’accelerazione

Si convertono i chilometri in metri:
385000 km = 3.85 · 10⁸ m
Il tempo per un giro completo, detto periodo T, espresso in secondi vale:

27.3 giorni ( 24 h/ 1 giorno) (3600 s/ 1 h) = 2.36 · 10⁶ s
Poiché la velocità nel moto circolare uniforme vale:
v = 2 π r/T si ha:
v = v = 2 π ·3.85 · 10⁸ m/2.36 · 10⁶ s = 1024 m/s

Il modulo dell’accelerazione centripeta è quindi pari a:
a_c = v²/r = (1024)²/3.85 · 10⁸ m =  0.00272 m/s²