La velocità istantanea è la velocità media tra due punti del percorso nel limite in cui il tempo, e quindi lo spostamento, tra i due punti si avvicina allo zero.
Per illustrare matematicamente questo concetto dobbiamo esprimere la posizione x come una funzione continua di t indicata come x(t).
L’espressione della velocità media tra due punti 1 e 2 usando questa notazione è:
vmedia = x(t2) – x(t1)/t2 – t1
Per trovare la velocità istantanea in ogni posizione si pone t1= t e t2 = t + Δt
Sostituendo queste espressioni nell’equazione della velocità media e considerando il limite per Δt → 0 si ha:
lim Δt→0 x(t + Δt) – x(t)/Δt = dx/dt
Pertanto la velocità istantanea di un corpo è il limite della velocità media quando il tempo trascorso si avvicina allo zero, o la derivata di x rispetto a t.
Portando in grafico, sull’asse delle ascisse il tempo e sull’asse delle ordinate lo spazio, la velocità istantanea è il valore della retta tangente nel punto t
Esercizi
- Sia x(t) = 6 t2 + t + 8 l’equazione del moto di un corpo. Se le ore 10.05 corrispondono a t = 0 calcolare la velocità istantanea alle 10.05 e alle 10.15
a)Derivando la funzione x(t) = 6 t2 + t + 8 si ha che dx/dt = 12 t + 1
Poiché t = 0 alle 10.05 si ha che la velocità istantanea dx/dt = 12(0) + 1 = 1m/ min = 1 m/60 s = 0.017 m/s
b) Alle 10.15 il tempo t è pari a 10.15 – 10.05 = 10 min
pertanto dx/dt = 12 t + 1 = 12(10) + 1 = 121 m/min = 121 m/60 s = 2.0 m/s
- Calcolare la velocità istantanea di un corpo che viaggia lungo una retta per un tempo di 3 secondi, con una funzione di posizione x definita come 5t² + 2t + 4
Derivando la funzione 5t² + 2t + 4 rispetto a t si ha:
dx/dt = 10 t + 2
Poiché t = 3 s si ha:
dx/dt = 10(3) + 4 = 34 m/s