Effetto Mössbauer: riga di emissione e assorbimento

La spettroscopia Mössbauer è una tecnica che studia transizioni tra due livelli energetici nucleari che si basa sull’effetto Mössbauer dovuta al fisco tedesco Rudolf Ludwig Mössbauer.

L’ effetto Mössbauer è alla base di una tecnica di spettroscopia γ ad alta risoluzione, ovvero la spettroscopia Mössbauer.

Si consideri un sistema atomico o nucleare di massa M che abbia due livelli energetici separati dalla energia E_o.

Se il sistema passa dal livello più elevato B a quello più basso A per emissione della radiazione γ con energia E_γ il principio di conservazione della quantità di moto richiede che il nucleo o l’atomo rinculi in direzione opposta alla direzione di propagazione della radiazione γ con quantità di moto P uguale alla quantità di moto p della radiazione. Ricordiamo che per un fotone di energia E_γ si ha:

E_γ = hν = h c/λ

dove ν e λ sono rispettivamente la frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione. Applicando l’equazione di Einstein E = mc² e ponendo p = mc ( quantità di moto del fotone di massa m e velocità c) si ha:

mc² = pc = h c/λ

da cui:

p = h/ λ = E_γ /c
l’energia cinetica di rinculo R del nucleo che emette raggi γ è data dalla relazione:
R = 1 / 2 Mv² = P²/ 2M

Dalla legge di conservazione della quantità di moto si ottiene:
R = P²/ 2M = p²/ 2M = E_γ ²/ 2Mc²

Di conseguenza parte dell’energia E_o della transizione nucleare A → B viene dissipata come energia cinetica di rinculo del nucleo e si ha quindi:
E_o = E_γ + R = E_γ  + E_γ ²/ 2Mc²

Ampiezza dello stato eccitato nucleare e effetto Mössbauer

A questo punto si rende necessario esaminare un’altra grandezza: l’ampiezza dello stato eccitato nucleare B. Se si assume che la vita media rispetto al decadimento per lo stato B sia indicata da τ in accordo al principio di indeterminazione di Heisenberg si ha che l’energia cinetica di questo stato è nota con una certa approssimazione tale da imporre una larghezza I’ della riga della radiazione emessa secondo la relazione:

I’ = h/ 2πτ

L’energia dello stato eccitato B è quindi distribuita intorno al centro E_o, quella dello stato fondamentale A ha invece un valore ben preciso. I fotoni emessi per la transizione B→ A mostrano una distribuzione di energia E_γ  centrata rispetto a E_o – R con ampiezza I’.

Quando un fotone di energia E_γ  e di quantità di moto p urta un bersaglio di massa M, inizialmente allo stato di riposo, gli cede la sua quantità di moto. In questo modo il bersaglio rincula con energia cinetica R. Per eccitare il nucleo bersaglio a un livello di energia E_o la radiazione γ deve possedere energia pari a Eo + R. Si può, quindi, ottenere risonanza di fluorescenza soltanto se alcuni dei fotoni incidenti hanno energia sufficiente per raggiungere lo stato B e contemporaneamente l’energia R necessaria per far rinculare il nucleo bersaglio.

Riga di emissione e assorbimento

La riga di emissione e quella di assorbimento sono centrate a una distanza pari a 2R

 

data dalla relazione:

2 R = E_γ ² /Mc² ≅ E_o²/ Mc²

dove viene tenuto conto che R è sempre molto piccolo rispetto a E_γ . Per raggiungere le condizioni di risonanza la larghezza I’ della riga deve quindi essere maggiore o uguale alla perdita di energia di rinculo ovvero:

2 R ≤ I’

Nella realtà gli atomi del sistema che emette e quelli del sistema che assorbe la radiazione γ non sono in uno stato di quiete bensì in uno stato di moto termico che produce un ampliamento addizionale delle bande di emissione e di assorbimento detto allargamento Doppler.

Consideriamo allora una sorgente con una quantità di moto iniziale P_i che emette un fotone di tipo γ avente quantità di moto p. La quantità di moto della sorgente dopo l’emissione è quindi (P_i –p) mentre l’energia guadagnata dalla sorgente e persa dalla radiazione γ è data dalla relazione:

R’ = (P_i –p)² / 2 M  – P_i /2M = p²/2 M – P_ip/M  (1)

Dove il termine p²/2 M rappresenta l’energia di rinculo R del sistema inizialmente fermo mentre il termine P_ip/M rappresenta l’energia che causa l’allargamento Doppler.

Effetto Doppler

Introducendo l’espressione:

ε = P_i²/ 2M

per rappresentare l’energia cinetica del sistema prima dell’emissione del fotone, e il termine:

D = 2 √ε R

per rappresentare l’energia dell’effetto Doppler dall’equazione (1) si ha:

R’ = R – D cos φ

dove φ è l’angolo compreso tra i vettori P_i e p.

L’energia della radiazione emessa è data dalla relazione:

E = E_o – R’ = E_o – R + D cos φ

dove E_o rappresenta l’energia totale liberata nella transizione B → A.

Generalmente l’angolo φ varia d 0 a 2π e il termine Doppler dell’equazione provoca una variazione dell’energia della radiazione al massimo dell’ordine del termine D.

Nel 1958 Mössbauer mostrò che se i nuclei della sorgente si trovano in un solido cristallino a bassa temperatura una frazione abbastanza elevata di raggi γ emessi non presenta l’allargamento della riga dovuto all’effetto Doppler né lo spostamento dovuto al rinculo. In seguito al rinculo l’intero cristallo riceve la quantità di moto che riceverebbe l’atomo isolato e poiché la massa del cristallo è circa 10¹⁸ volte superiore a quella di un atomo l’energia R risulta trascurabile.

La possibilità che il cristallo possa assorbire energia per i propri moti vibrazionali è molto piccola perché le energie di questi moti sono quantizzate e quindi è poco probabile che il nucleo emittente possa cedere esattamente il quanto energetico necessario per l’eccitazione vibrazionale. Rimane, quindi, una probabilità finita che il cristallo subisca il rinculo nel suo insieme senza che ci sia scambio di energia con i raggi γ.

Cattura di risonanza dei raggi γ e effetto Mössbauer

La scoperta dell’emissione senza rinculo si accompagnò alla simultanea scoperta dei raggi γ senza rinculo da parte di un nucleo dello stesso tipo di quello emittente, nello stato fondamentale, intrappolato, come quello della sorgente, in una matrice cristallina solida a bassa temperatura. I raggi γ emessi senza rinculo hanno esattamente l’energia necessaria per portare il nucleo bersaglio dallo stato fondamentale a quello eccitato purché il nucleo bersaglio non scambi energia con il cristallo. In tali condizioni è possibile la cattura di risonanza dei raggi γ, che in onore del suo scopritore è nota come effetto Mössbauer.

Se i due nuclei e i due cristalli dell’emittente e dell’assorbente sono uguali la riga di emissione e quella di assorbimento della radiazione γ hanno esattamente la stessa energia E_γ. In altri casi è possibile ottenere la risonanza sfruttando l’effetto Doppler prodotto dal movimento relativo della sorgente rispetto all’assorbitore come indicato in figura:

Gli spettri Mössbauer riportano i fotoni che oltrepassano l’assorbente in funzione della velocità relativa sorgente-assorbente.