Il metodo delle approssimazioni successive è un metodo matematico che consente di ottenere risultati senza fare molti calcoli o calcoli particolarmente complessi.
In molti casi può capitare che si presenti un’equazione di 2° e ovviamente il metodo più semplice consiste nel risolverla secondo la regola di risoluzione dell’equazione.
Tuttavia sia nel caso di equazioni di 2° che nel caso di equazioni di 3° ci si può avvalere del metodo delle approssimazioni successive in cui la soluzione può essere ottenuta per iterazioni.
Esempi
1)Calcolare il pH di una soluzione 0.010 M di HF (Ka = 7.2 ∙ 10-4)
Costruiamo una I.C.E. chart:
| HF | ⇌ | H+ | F– | |
| Stato iniziale | 0.010 | // | // | |
| Variazione | -x | +x | +x | |
| All’equilibrio | 0.010-x | x | x |
L’espressione della costante di equilibrio è:
Ka = 7.2 ∙ 10-4 = [H+][F–]/[HF]
Sostituendo i valori ottenuti dalla I.C.E. chart si ha:
7.2 ∙ 10-4 = (x)(x)/0.010-x
Non potendosi trascurare la x sottrattiva presente al denominatore in quanto la concentrazione iniziale dell’acido è bassa e la Ka è alta la soluzione può essere trovata risolvendo l’equazione di 2°.
Con il metodo delle approssimazioni successive si ammette che la x sottrattiva presente al denominatore sia trascurabile e si risolve l’equazione:
7.2 ∙ 10-4 = x2/0.010
Ovvero
7.2 ∙ 10-6 = x2
Estraendo la radice quadrata e scartando la soluzione negativa si ottiene x = 0.0027
Il valore della x ottenuto si sostituisce al denominatore dell’equazione iniziale:
7.2 ∙ 10-4 = x2/0.010 – 0.0027 = x2/0.0073
Da cui x2 = 5.3 ∙ 10-6
Estraendo la radice quadrata e scartando la soluzione negativa si ottiene x = 0.0023
Il valore della x ottenuto si sostituisce al denominatore dell’equazione iniziale:
7.2 ∙ 10-4 = x2/0.010 – 0.0023 = x2/0.0077
Da cui x2 = 5.5 ∙ 10-6
Estraendo la radice quadrata e scartando la soluzione negativa si ottiene x = 0.0023
Poiché questo valore coincide con quello trovato nella precedente approssimazione si può dire che x = [H+] = 0.0023 e quindi pH = 2.6
Per le equazioni di grado superiore al secondo può presentarsi la possibilità di poter trascurare un termine rendendo l’equazione più facilmente risolvibile.
2)Alla temperatura di 298 K la costante Kc relativa all’equilibrio: 2 NH3(g) ⇌ N2(g) + 3 H2(g) vale 2.4 ∙ 10-9. Calcolare la concentrazione delle specie all’equilibrio se la concentrazione iniziale di NH3 è 0.25 M
Costruiamo una I.C.E. chart:
| 2 NH3 | ⇌ | N2 | 3 H2 | |
| Stato iniziale | 0.25 | // | // | |
| Variazione | – 2x | +x | +3 x | |
| All’equilibrio | 0.25 -2x | x | 3 x |
L’espressione della costante di equilibrio è:
Kc = 2.4 ∙ 10-9 = [N2][H2]3/[NH3]2
Sostituendo i valori ottenuti dalla I.C.E. chart si ha:
2.4 ∙ 10-9 = (x)(3x)3/(0.25-2x)2 = 27 x4/(0.25-2x)2
Poiché la costante è molto piccola e quindi l’ammoniaca è poco dissociata si può ritenere che 2x sia trascurabile rispetto a 0.25. con questa approssimazione l’equazione diventa:
2.4 ∙ 10-9 = 27 x4/(0.25)2 = 27 x4/0.0625
Da cui x4 = 5.6 ∙ 10-12
Estraendo la radice quarta si ottiene x = 0.0015
Per valutare se l’approssimazione è valida consideriamo la differenza 0.25 – 2x ovvero sostituendo ad x il valore 0.0015 si ha: 0.25 – 2(0.0015) = 0.25 – 0.0030
Poiché 0.0030 differisce di due ordini di grandezza rispetto a 0.25 si può ritenere che l’approssimazione fatta sia corretta.
Vi sono casi in cui non si può trascurare un termine rispetto a un altro e in tal caso ci si può avvalere del metodo delle approssimazioni successive
3)Risolvere l’equazione 4x3– 0.800 x2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0
Prima approssimazione: si assume che x sia uguale a zero nei primi due termini quindi
0.0500 x – 0.00060 = 0
Da cui x = 0.012
Seconda approssimazione:
Assumiamo che x = 0.012 nei primi due termini:
4(0.012)3 – 0.800(0.012)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0
Svolgendo 0.0500 x – 0.00071 = 0
Da cui x = 0.014
Terza approssimazione:
Assumiamo che x = 0.014 nei primi due termini:
4(0.042)3 – 0.800(0.014)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0
Svolgendo 0.0500 x – 0.00075 = 0
Da cui x = 0.015
Quarta approssimazione:
Assumiamo che x = 0.015 nei primi due termini:
4(0.015)3 – 0.800(0.015)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0
Svolgendo 0.0500 x – 0.00077 = 0
Da cui x = 0.016
Quinta approssimazione:
Assumiamo che x = 0.016 nei primi due termini:
4(0.016)3 – 0.800(0.016)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0
Svolgendo 0.0500 x – 0.00078 = 0
Da cui x = 0.016
Poiché sia nella quarta che nella quinta approssimazione il risultato è lo stesso non andiamo oltre e quindi la soluzione è x = 0.016