Momento di inerzia: energia cinetica, esercizi

Il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto a un asse, intorno a cui è posto in rotazione, è una misura di quanto il corpo si oppone alla variazione della sua velocità angolare di rotazione attorno all’asse.

Si consideri un corpo rigido che ruota con una velocità angolare ω intorno a un asse fisso. Ogni particella di massa m ha una velocità pari v = ωr (1)
Ciascuna particella del corpo ha una energia cinetica.

Energia cinetica

L’energia cinetica di ciascuna particella è pari a K = ½ mv²
Sostituendo a v il valore della (1) si ha:
K = ½ mω²r²

L’energia cinetica totale del corpo è pari alla somma delle energie cinetiche di tutte le particelle. Se il corpo è rigido la velocità angolare è la stessa per tutte le particelle. Pertanto l’energia cinetica totale K del corpo in rotazione vale:
K = ½ (m₁r₁² + m₂r₂² +…)ω² = ½ Σ(m_ir_i²)ω²

Il termine Σm_ir_i² che si indica con I si chiama momento di inerzia del corpo rispetto a un dato asse di rotazione ovvero:
I = Σm_ir_i²  (2)
Il momento di inerzia ha come dimensioni [kg·m²]

Energia cinetica e momento di inerzia

L’energia cinetica K di un corpo in rotazione può essere scritta introducendo quindi il momento di inerzia:
K = ½ Iω² (3)

Questa espressione è analoga a quella dell’energia cinetica di un corpo di massa m in un moto traslatorio:
K = ½ mv²

Confrontando le due espressioni si deduce che alla massa m corrisponde, nel moto rotazionale I.
Tuttavia mentre m non dipende dalla posizione del corpo I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione.

Le equazioni (2) e (3) indicano che l’energia rotazionale di un corpo per una data velocità angolare ω non dipende solo dalla massa del corpo. Infatti essa dipende anche dal modo in cui è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione.

Esercizio

Si consideri un corpo formato da due sfere di massa 3.0 kg ciascuna collegate da un’asta leggera e rigida lunga 1.0 m. Calcolare il momento di inerzia del corpo:

1. Rispetto a un’asse normale all’asta nel suo punto di mezzo
2. Rispetto a un asse parallelo al precedente, ma passante per una delle due sfere

• Poiché l’asta è lunga 1.0 m la distanza di una sfera dal punto di mezzo è di 0.50 m.

Applicando la (2) si ha:
I = Σm_ir_i²  = (3.0 kg)(0.50 m²) +  (3.0 kg)(0.50 m²) = 1.5 kg m²

• Poiché l’asse passa per una delle sfere si ha:
  I = Σm_ir_i²  = (3.0 kg)(0 m²) +  (3.0 kg)(1.0 m²) = 3.0 kg m²