Equazione di Born-Landé: energia potenziale elettrostatica, interazione repulsiva

L’equazione di Born-Landé è  dovuta ai contributi dell’ energia potenziale elettrostatica e della interazione repulsiva.
Nel 1918 il fisico tedesco Max Born e il fisico statunitense di origine tedesca Alfred Landé proposero un’equazione per calcolare l’energia reticolare di un composto in cui vengono considerate sia l’energia coulombiana derivante da interazioni elettrostatiche sia il contributo delle interazioni repulsive.

L’equazione di Born-Landé serve a calcolare l’energia reticolare di un composto ionico cristallino

Energia potenziale elettrostatica

L’energia potenziale elettrostatica tra due ioni è data da:
Eel = – │Z+││Z│e2/ 4 πεor

Dove: Z+ è la carica del catione, Z è la carica dell’anione, e è la carica dell’elettrone pari a 1.6022 ∙10-19 C,

εo è la costante dielettrica nel vuoto detta anche permettività nel vuoto, r è la distanza che separa i centri degli ioni. In  un reticolo cristallino le interazioni tra uno ione e tutti gli altri ioni appartenenti al reticolo cristallino è data da:
Eel = – MNA│Z+││Z│e2/ 4 πεor

dove NA è il numero di Avogadro e M è la costante di Madelung

Secondo termine dell’equazione di Born-Landé

Il secondo termine dell’equazione di Born-Landé è relativo all’ interazione repulsiva tra gli ioni appartenenti al reticolo cristallino che risulta essere proporzionale a 1/rn si ha quindi:

ER = NAB/rn

reticolo cristallino
reticolo cristallino

Dove: NA è il numero di Avogadro, B è il coefficiente di repulsione, , r è la distanza che separa i centri degli ioni e n è il coefficiente di Born che assume in genere valori tra 5 e 12 ed è funzione della barriera repulsiva.

L’ equazione di Born-Landé è data dalla somma di questi due contributi pertanto:
E = – MNA│Z+││Z│e2/ 4 πεor + NAB/rn

Ricavando B e differenziando rispetto a dr, ovvero del minimo di energia reticolare si ha:

dE/dr = MNA│Z+││Z│e2/ 4 πεor2 – nB/ rn+1

0 = MNA│Z+││Z│e2/ 4 πεoro 2 – nB/ rn+1

Da cui ro = (4 πεonB/ MNA│Z+││Z│e2)1/n-1

B = (MNA│Z+││Z│e2/4 πεon) ron-1

Valutando la minima energia potenziale e sostituendo l’espressione di B in termini di ro l’equazione di Born-Landé diventa:

E(ro) = – MNA│Z+││Z│e2/4 πεoro( 1 – 1/n)

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