Propagazione dell’errore: operazioni, esempi

La propagazione dell’errore o propagazione dell’incertezza si verifica quando si lavora con più misurazioni affette da errore. Quando si utilizzano misurazioni incerte per calcolare una grandezza si ha una propagazione dell’errore. Infatti gli errori si propagano crescendo molto più rapidamente della somma dei singoli errori.

Si supponga infatti che due grandezze x e y siano affette da incertezze Δx e Δy rispettivamente. Si ha che esse si possono rappresentare come x ± Δx e y ± Δy.
La propagazione dell’errore si verifica quando tali grandezze sono utilizzate nel calcolo di una nuova grandezza

Somma e differenza

Calcolo di z = x + y

Il valore più alto di z è pari a z + Δz = (x+ Δx) + (y+Δy) = (x+y) + (Δx +Δy)

Il valore più basso di z è pari a z – Δz = (x- Δx) + (y-Δy) = (x+y) – (Δx +Δy)

Da cui Δz = Δx +Δy

Si ha quindi che l’errore massimo associato a una grandezza risultato dalla somma, dalla differenza o da una combinazione di esse, fra due o più grandezze, ciascuna misurata con la propria incertezza, si ottiene sommando gli errori delle singole grandezze

Esempio

x = ( 2,0 ± 0,2) cm, y = (3,0 ± 0,6) cm, w = (4,52 ± 0,02) cm

Calcolare  z = x + y – w e ​​l’ncertezza.

z = x + y – w = 2.0 + 3.0 – 4.5 = 0.5 cm

Δz = Δx + Δy + Δw = 0.2 + 0.6 + 0.02 = 0.82 arrotondato a 0.8 cm

Quindi z = (0,5 ± 0,8) cm

Prodotto e quoziente

Calcolo di z = x · y

Il valore più alto di z è pari a z + Δz = (x+ Δx) · (y+Δy) = (xy) + (Δx Δy)+ (x Δy) + (yΔx)

Poiché abitualmente x << Δx e y << Δy il termine Δx Δy può essere trascurato. Tenendo conto che z = xy si ha quindi:

xy + Δz = (xy) + (x Δy) + (yΔx)

semplificando xy da ambo i membri si ha:

Δz = (x Δy) + (yΔx)

Conviene scrivere l’errore relativo e si ha:

Δz/z = x Δy + yΔx/x+y = Δx/x + Δy/y

Esempio

x = (2.0 ± 0.2) cm, y = (4.52 ± 0.02) cm

Calcolare  z = xy e l’incertezza

Si ha: z = 2.0 · 4.52 =9.07 cm2

Da cui Δz/z = Δz/9.07 cm2= 0.2 cm /2.0 cm + 0.02 cm/4.52 cm = 0.1044

Si ricava quindi che Δz = 0.1044 · 9.07 cm2 = 0.944 cm2 che arrotondato dà 0.9

Pertanto z = 9.0 ± 0.9

Note: si noti che si è avuta una propagazione dell’errore essendo gli errori correlati a x e y pari a 0.2 e 0.02 rispettivamente.

Inoltre è consigliato nel corso dei calcoli lavorare con un numero di cifre maggiori a quelle significative e arrotondare alla fine.

 

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