Componenti di un vettore: rappresentazione grafica, esercizi

Un vettore è rappresentato da un segmento orientato la cui lunghezza è proporzionale al modulo e da una freccia che ne indica la direzione.
In un sistema di coordinate cartesiane in un piano, un punto è descritto da una coppia di coordinate  x e y

In modo simile, un vettore in un piano è descritto da una coppia delle sue coordinate vettoriali. La coordinata x del vettore è chiamata la sua componente x e la coordinata y del vettore
Nel sistema cartesiano, le componenti di un vettore x e y sono le proiezioni ortogonali di questo vettore sugli assi x  e y rispettivamente.

In questo modo, seguendo la regola del parallelogramma per l’addizione vettoriale, ogni vettore su un piano cartesiano può essere espresso come somma vettoriale delle sue componenti vettoriali

Rappresentazione grafica

Sia dato il vettore A rappresentato nel piano cartesiano. Si considerino le proiezioni del vettore A sull’asse delle ascisse e su quella delle ordinate ovvero A_x e A_y che costituiscono le componenti del vettore

Il vettore A rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti A_x e A_y.

Per il teorema di Pitagora si può scrivere:

A² = A_x² + A_y²

Da cui A = √ A_x² + A_y²

Se θ è l’angolo tra l’asse delle ascisse e il vettore A si ha, dalla trigonometria, che A_y = A sen θ e A_x = A cos θ

Pertanto si ha che:

tg θ = A_y / A_x

Si può quindi conoscere l’angolo θ conoscendo A_y  e A_x:

θ = arctan (A_y / A_x)

Esercizi

• Una forza di 250 N agisce con un angolo di 30° rispetto all’asse delle ascisse. Determinare le componenti del vettore forza

A_y = A sen θ = sen 30° = 250 · 0.5 = 125 N
A_x = A cos θ = cos 30° = 250 · 0.866 = 216.5 N

• Un corpo di muove del corpo da un punto (6.0 cm; 1.6 cm) a un punto (2.0 cm; 4.5 cm). Calcolare il modulo e la direzione del corpo

Le componenti del vettore sono pari rispettivamente a:

A_x = 2.0 – 6.0 = – 4.0 cm
A_y = 4.5 – 1.6 = 2.9 cm
Da cui A = √ A_x² + A_y² = A = √ (-4.0)² + (2.9)² = 4.9 cm

Per calcolare la direzione:
tg θ = A_y / A_x  = 2.9/-4.0 = – 0.725
da cui θ = arctan -0.725 = – 35.9°