Accelerazione istantanea: formule, grafico esercizi

L’accelerazione istantanea è una grandezza che indica la variazione di velocità di un corpo in un determinato istante in qualsiasi punto del suo percorso.
Pertanto l’accelerazione istantanea è l’accelerazione media tra due punti del percorso nel limite in cui il tempo tra i due punti si avvicina allo zero.

Per trovare l’accelerazione istantanea si parte dalla definizione di accelerazione media esprimendo la velocità v come una funzione continua di t indicata da v (t).
L’espressione per l’accelerazione media tra due punti usando questa notazione è

a = v (t2) − v (t1)/ t2 – t1
Si pone  t1 = t e t2 = t + Δt

Sostituendo queste espressioni nell’equazione della accelerazione media e considerando il limite per Δt → 0 si ha:

lim Δt→0  v(t + Δt) – v(t)/Δt = dv/dt

Pertanto l’accelerazione istantanea di un corpo è il limite della accelerazione media quando il tempo trascorso si avvicina allo zero, o la derivata di v rispetto a t.

Portando in grafico, sull’asse delle ascisse il tempo e sull’asse delle ordinate la velocità, l’accelerazione  istantanea è il valore della retta tangente nel punto t

grafico da Chimicamo

Esercizi

  • Calcolare l’accelerazione istantanea di un corpo la cui equazione del moto x(t) = 3.0 t + 0.5 t3 al tempo t = 2.0 s

Si inizia con la derivazione della funzione per calcolare la velocità istantanea:
dx/dt = 3.0 + 1.5 t2

Si deriva quest’ultima funzione e si ha:
dv/dt = 3.0 t

quindi quando t = 3.0 s si ha:
dv/dt = 3.0(2.0) = 6.0 m/s2

  • Per un corpo in movimento che sta accelerando l’equazione della velocità è v(t) = 20 t – 5 t2

Calcolare:

l’equazione dell’accelerazione
la velocità istantanea a t = 1, 2, 3, 4 e 5 s
l’accelerazione istantanea a t = 1, 2, 3, 4 e 5 s

Per avere l’equazione dell’accelerazione si deriva l’equazione della velocità rispetto al tempo:
dv/dt = 20 – 10 t

La velocità istantanea a t = 1 si ottiene sostituendo nell’equazione della velocità il valore del tempo:
v(1) = 20(1) – 5(1)2 = 15 m/s

in modo analogo si ottengono:  v(2) = 20(2) – 5(2)2 = 20 m/s
v(3) = 20(3) – 5(3)2 =15 m/s
v(5) = 20(5) – 5(5)2 = – 25 m/s

Per ottenere l’accelerazione istantanea a t = 1, 2, 3, 4 e 5 s si considera l’equazione dv/dt = 20 – 10 t e si sostituiscono i valori del tempo:

a(1) = 20 – 10(1) = 10 m/s2
a(2) = 20 – 10(2) = 0 m/s2

Da questi valori si comprende che dopo 2 s la velocità assume il valore massimo di 20 m/s che corrisponde a un valore di accelerazione pari a zero.
a(3) = 20– 10(3) = – 10 m/s2

al tempo t = 3 s la velocità diminuisce da 20 m/s a 15 m/s e il corpo ha accelerazione negativa ovvero inizia a decelerare
a(5) = 20 – 10(5) = – 30 m/s2

Tra i tempi t = 3 s e t = 5 s il corpo ha diminuito la sua velocità fino a zero fino a diventare negativa, invertendo così la sua direzione. Il corpo ora sta accelerando di nuovo, ma nella direzione opposta.

 

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