Postulato di Fourier e conduzione del calore

Secondo il postulato di Fourier detta anche prima legge della conduzione del calore il gradiente negativo di temperatura e la velocità di trasferimento del calore nel tempo è proporzionale all’area ad angolo retto di quel gradiente attraverso il quale scorre il calore.

Il segno meno spiega il fatto che il calore passa da una temperatura più alta a una temperatura più bassa.

La trasmissione di calore avviene tra due sistemi termodinamici che hanno temperatura diversa e può verificarsi per conduzione, convezione e irraggiamento.
La conduzione avviene tramite scambio di energia termica all’interno di corpi o tra corpi solidi, liquidi o gassosi a contatto tra loro. Tra essi avviene una cessione di energia cinetica molecolare da zone a temperatura maggiore a zone a temperatura minore.

Questo fenomeno è coerente con l’enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica.
Questo tipo di trasmissione del calore è intuitivo. Tuttavia fu solo nel 1822 che il matematico e fisico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel suo trattato “Theorie analytique de la chaleur” sviluppò questo fenomeno in modo scientifico e rigoroso enunciando il postulato di Fourier.

Trasmissione del calore

trasmissione del calore da Chimicamo
trasmissione del calore

Si consideri una barretta cilindrica di materiale omogeneo e isotropo le cui estremità siano piane e parallele di superficie A e la cui distanza sia pari a Δx.

Si supponga che le estremità siano mantenute a due temperature T1 e T2 dove T1 > T2 pertanto ΔT = T1 – T2

Se il corpo è isolato il flusso avviene solo nella direzione del suo asse ed è quindi unidimensionale.

L’energia termica che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo ovvero il flusso termico qx è proporzionale secondo una costante propria del materiale, al gradiente termico lungo la direzione di propagazione del calore ovvero:

qx ∝ A ΔT/ Δx  (1)

Si ha quindi una proporzionalità diretta tra flusso termico, differenza di temperatura e area della sezione e una proporzionalità inversa tra flusso termico e distanza tra le estremità del cilindro.

Conducibilità termica e postulato di Fourier

Il fattore di proporzionalità, presente nel postulato di Fourier è detto conducibilità termica del materiale λ.

postulato di Fourier da Chimicamo
postulato di Fourier

La conducibilità termica esprime la quantità di calore che passa in 1 secondo attraverso un materiale avente spessore di 1 metro quando ΔT è pari a 1 K.

La conducibilità termica  ha equazione dimensionale [W· m-1· K-1] e identifica il comportamento dei materiali in relazione alla trasmissione del calore.

Materiali isolanti come legno, poliuretano e fibra di vetro hanno una bassa conducibilità termica mentre materiali conduttori come i metalli hanno un elevato valore di conduttività termica.

Il valore della conducibilità termica λ delle diverse sostanze dipende dallo stato di aggregazione del materiale. Può variare a seconda della temperatura, pressione ed eventuali trattamenti termici subiti dal materiale

La relazione (1) può quindi essere espressa come

qx = – λ A ΔT/ Δx  (2)

che rappresenta il postulato di Fourier.

pendenza 1 da ChimicamoIl rapporto ΔT/ Δx  rappresenta il gradiente di temperatura ovvero la variazione di temperatura nella direzione di propagazione del calore misura come la temperatura cambia con la posizione. Geometricamente, ΔT/ Δx è la pendenza di un grafico di T rispetto a x. Di conseguenza, la temperatura diminuisce linearmente con la distanza lungo la direzione del flusso di calore, fornendo un grafico lineare di T rispetto a x .

Dato che il calore fluisce da zone a temperatura maggiore verso zone a temperatura minore, il gradiente è negativo per valori crescenti di x.

È quindi necessario introdurre il segno – per avere il flusso termico positivo nella direzione considerata.

Al limite per Δx tendente a zero la (2) può essere scritta nella seguente forma differenziale:

qx = – λ A ∂T/∂X

 

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