Oscillatore armonico quantistico

L’oscillatore armonico quantistico è  importante da un punto di vista fisico essendo uno dei pochi sistemi per cui l’equazione di Schrödinger può essere risolta rigorosamente

Il moto di due particelle di massa   m₁ e m₂ vincolate da una molla  può essere descritto per semplicità tramite la coordinata interna h = x₁ – x₂ . La molla esercita una forza di richiamo di tipo elastico verso la posizione di equilibrio delle particelle proporzionale allo spostamento secondo la legge di Hooke

F = – wh dove k è la costante di proporzionalità detta costante di forza ed è un misura della forza di richiamo per lo spostamento unitario. Le espressioni dell’energia cinetica T e potenziale U del sistema sono:

T = ½ ( m₁ + m₂) ² ẋ²+ ½ m_r ẇ²

U = ½ k w²

In cui con ẋ si indica la derivata di x rispetto al tempo, con ḣ la derivata della derivata interna rispetto al tempo e:

m_r = m₁m₂/(m₁+ m₂)  è la massa ridotta.

Nella figura è riportato l’andamento della energia potenziale U in funzione di h.

Equazioni lagrangiane

Le equazioni lagrangiane del moto del sistema:

d/ dt (dT/ dẇ) + dU/dh =0

d/dT (dT/ dẋ) + dU/dx =0

per sostituzione delle espressioni di U e di T diventano:

m_r ẅ+ kw =0

(m₁+ m₂) ẍ =0

Le soluzioni del sistema sono:

x = c₁t + c₂ e h = A cos(2πνt) + φ

di cui la prima rappresenta il moto traslazionale del baricentro e la seconda il moto armonico vibrazionale con frequenza ν = 1/2π √ k/m_r

Si è così raggiunto il risultato di separare in due distinte equazioni il moto di traslazione del baricentro e il moto armonico di vibrazione del sistema. L’energia totale della vibrazione: H = T + U sostituendo i valori precedentemente ricavati diviene:

H = ½ m_rẇ ² + ½ k w² = p²/ 2 m_r + k/2 w²

Dove p = m_rẇ  è la quantità di moto. Il corrispondente operatore hamiltoniano assume quindi l’espressione:

H = – h²/ 8π²m_r  d²/ dw² + kw²/2

Equazione di Schrödinger

L’equazione di Schrödinger vibrazionale dell’oscillatore armonico quantistico è:

Hψ_v = E_vψ_v

Dove ν è il numero quantico vibrazionale che può assumere valori interi positivi, zero compreso, e che caratterizza l’energia E_v e la funzione d’onda ψ_v.

Le espressioni di queste due grandezze sono:

E_v= (ν + ½) h ν_c ;  ν = 0, 1, 2…

ψ_v = N_v e^-(α/2)q2  ; H =  │ν >

in cui N_v è il fattore di normalizzazione, H_v è un polinomio di grado ν e α = 4π· (ν_c/h) m_r e la funzione ψ_v per brevità è indicata con │ν >.

Le espressioni delle energie E_v e delle funzioni d’onda vibrazionali, limitatamente agli stati ν = 0, 1, 2, 3 sono riportate in tabella:

Nella figura:

sono riportate, per i primi quattro livelli energetici vibrazionali, le rappresentazioni grafiche delle funzioni d’onda. Queste sono funzioni ortogonali, alternativamente simmetriche e antisimmetriche rispetto all’origine. I livelli energetici sono tutti energeticamente distanziati tra loro: infatti si ha sempre:
ΔE = E_v+1 – E_v = hν_c

Teoria quantistica delle perturbazioni dipendenti

L’oscillatore armonico quantistico  può assorbire energia e passare da uno stato stazionario a un altro. E’ però opportuno stabilire se i livelli interessati alla transizione possono essere qualsiasi oppure no.

La risposta a questo interrogativo è data dalla teoria quantistica delle perturbazioni dipendenti dal tempo secondo la quale la transizione descritta dagli stati ψ_v’ e ψ_v” è possibile se l’integrale da meno infinito a più infinito di ψ_v”^* M ψ_v’ in dw = <ν”│M│ν’> è diverso da zero, dove M è l’operatore relativo alla perturbazione che provoca la transizione. Poiché un integrale con limiti simmetrici ad esempio –w e +w è uguale a zero per una funzione dispari e diverso da zero per una funzione pari tale integrale è diverso da zero quando ψ_v”^* M ψ_v’ è pari. Supponendo che ψ_v’ corrisponda allo stato fondamentale (ν’ = 0) cioè sia una funzione pari, e che ψ_v” corrisponda al primo stato eccitato (ν” = 1) , funzione dispari, l’integrale è diverso da zero se M è funzione dispari.