Modello atomico di Bohr: postulati

Il modello atomico di Bohr proposto nel 1913 è una teoria rivoluzionaria che si basava sullo spettro a righe dell’atomo di idrogeno. Il fisico danese Niels Bohr nell’ambito delle sue ricerche scientifiche riuscì a spiegare lo spettro atomico dell’idrogeno e per il suo contributo alla comprensione della struttura atomica ricevette il Premio Nobel per la fisica nel 1922.

Nel corso dei suoi studi presso l’Università di Manchester studiò con Ernest Rutherford il quale grazie al suo famoso esperimento per sondare la struttura atomica dimostrò che l’atomo era costituito da un centro massivo (nucleo) circondato da cariche negative (elettroni).  La teoria atomica di Rutherford non giustificava come l’elettrone potesse muoversi attorno al nucleo carico positivamente in quanto l’elettrone, nel suo moto intorno al nucleo viene sottoposto ad un’accelerazione e quindi irraggia energia elettromagnetica della stessa frequenza del suo moto di rivoluzione finendo così per perdere energia.

Tale comportamento avrebbe dovuto portare l’elettrone a cadere sul nucleo con un moto a spirale. Bohr superò le difficoltà del modello di Rutherford elaborando un modello atomico che univa le conoscenze della fisica classica con quelle della fisica quantistica.

Postulati del modello atomico di Bohr

Il modello atomico di Bohr si basa su quattro postulati:

1° Postulato del modello atomico di Bohr : L’elettrone in un atomo si muove secondo un’orbita circolare intorno al nucleo. Il suo moto nell’orbita è regolato dalla forza elettrica di Coulomb tra l’elettrone carico negativamente e il nucleo carico positivamente.

2° Postulato modello atomico di Bohr: Il moto dell’elettrone è descritto dalle leggi di Newton, ma non tutte le orbite sono permesse in quanto sono permesse solo quelle di raggio r tale che il momento angolare L dell’elettrone sia multiplo intero di h/2π essendo h la costante di Planck ovvero:
L = n(h/2π)   (1)

Dove il numero n ( detto numero quantico di Bohr) può assumere valori interi n = 1, 2, 3 ecc. Il secondo Postulato rispetta la fisica classica ma introduce un nuovo aspetto che è costituito da un’ipotesi quantistica relativa al momento angolare dell’elettrone nella sua orbita.

Per un’orbita circolare di raggio r in cui l’elettrone ha una velocità costante v il valore del momento angolare L è pari a L = r x m_e v = m_e vr. ( ovvero L² = m_e² v²r²) Secondo la fisica classica è permesso qualsiasi valore di L a seconda del valore del raggio dell’orbita mentre questo concetto fu superato da Bohr.

In questo caso l’accelerazione radiale o centripeta ha un valore di v²/r e il valore della forza radiale o centripeta è quindi  F = m_e v²/r. Tale forza è data, secondo la legge di Coulomb da:
F = 1 / 4πε_o (e²/r²)

Uguagliando queste due grandezze si ha:

m_e v²/r = 1 / 4πε_o (e²/r²)   (2)

moltiplicando ambo i membri per r³ ed m_e si ha:

m_e v²r² = m_e²r/4πε_o   (3)

Essendo L² = m_e² v²r² si ha:

m_e v²r² = m_e²r/4πε_o   = L²

La condizione di quantizzazione di Bohr è espressa dalla (1) e quindi impone una restrizione delle orbite consentite che sono date quindi da:

(n h/2π)² = m_e e²r/  4πε_o  dove n = 1, 2, 3 ecc.

Ovvero r = n² ε_o²h²/ π m_e e²

Denotando la costante ε_o²h²/ π m_e e² con a_o si ha:

r = n² a_o

a_o è il raggio dell’orbita più piccola ( per la quale n = 1) ed è detto raggio di Bohr. Il valore di a_o è di 0.53 x 10^-10 m

3° Postulato del modello atomico di Bohr: Un elettrone in un’orbita di Bohr non emette continuamente una radiazione elettromagnetica e pertanto la sua energia è costante, l’orbita viene detta orbita stazionaria

4° Postulato del modello atomico di Bohr: Una radiazione elettromagnetica viene emessa solo quando un elettrone passa da un’orbita a maggiore energia a un’orbita a minore energia: in tal caso l’energia persa ΔE viene emessa come un quanto di radiazione avente frequenza ν data dalla equazione di Planck- Einstein:

ΔE = hν   (4)

Questa ultima condizione consente di prevedere che le frequenze della radiazione emessa da un atomo di idrogeno ha solo determinati valori.

Energia di un elettrone

L’energia di un elettrone in un’orbita permessa è caratterizzata da un particolare valore di n. Questa energia è data dall’energia cinetica ½ m_ev² e dall’energia potenziale che è pari a – 1/4π ε_o (e²/r): il segno negativo è dovuto al fatto che si tratta di una forza di attrazione e lo zero di energia potenziale è preso a r = ∞.

L’energia è dunque pari a

E = ½ m_ev² – 1/4π ε_o (e²/r)    (5)

Dall’equazione (2) si ha:

m_e v² = 1 / 4πε_o (e²/r)   pertanto la (5) diventa:

E = ½ (1 / 4πε_o (e²/r)    – 1/4π ε_o (e²/r)    = e² / 8 πε_o (e²/r)  – 1/4π ε_o (e²/r)    = – ½ (1/4π ε_o (e²/r)

Ma poiché r = n² ε_o²h²/ π m_e e²= n²a_o

Si ha che per l’orbita con n = 1  il valore di E è dato da:

E_n = – m_e e⁴/ 8ε_oh² ( 1/n²)  (6)

che, in unità di elettronvolt, diviene:

E_n = – 13.6 eV/n²

Tabella

Vengono riportate in Tabella, per le prime quattro orbite i valori del raggio dell’orbita e le corrispondenti energie:

La combinazione di questi risultati con l’equazione di Planck- Einstein fornisce una trattazione teorica dei valori di energia dello spettro dell’atomo di idrogeno.

Se un elettrone in un’orbita stazionaria con numero quantico n₁ passa a un’orbita ad energia più bassa con numero quantico n₂, la perdita di energia ΔE = E₁ – E₂ viene rilasciata come radiazione di frequenza ν_n1→n2 calcolata dalla (4) : ΔE = hν ; sulla base dell’equazione (6) E_n = – m_e e⁴/ 8ε_oh² ( 1/n²)  si ha che la frequenza della radiazione è data da:

 ν_n1→n2 = m_e e⁴/8 ε_o² h³ (1 / n₂² – 1/n₁²)

Tale equazione costituisce la parte più importante del modello atomico di Bohr che ben si accorda con i dati sperimentali