Esercizi di termodinamica svolti e commentati

Gli esercizi di termodinamica prendono spunto dai principi della termodinamica, dalle funzioni di stato e dalle grandezze coinvolte.
Il primo principio della termodinamica, per una generica trasformazione infinitesima effettuata da un sistema, si può scrivere :

dU = dQ – dW
Se il lavoro in gioco è solo di tipo meccanico si ha :
dU = dQ – pdV
tale equazione può essere utilizzata per le trasformazioni di un gas perfetto.

Esercizi di termodinamica

1)      Un recipiente rigido avente volume 28 L contenente aria alla pressione di 140 kPa e alla temperatura di 20°C è riscaldato fin quando la pressione raggiunge i 345 kPa. Calcolare il calore fornito considerando che il peso molecolare dell’aria sia di 29 u e che C_v sia di 0.718 kJ/kg K

Secondo il primo principio della termodinamica:

Q + W = ΔU

Per un gas ideale la variazione di energia interna è funzione solo della temperatura e quindi ΔU = m C_v(T₂– T₁) . Il processo avviene a volume costante si ha che il lavoro fatto è pari a zero pertanto:

Q = ΔU

Per ottenere Q è quindi necessario calcolare m, la massa dell’aria contenuta nel recipiente.

Dall’equazione di stato dei gas ideali n= pV/RT

Convertiamo la pressione iniziale in atm:

p = 140000 Pa/ 101325 Pa/atm =  1.38 atm

La temperatura T è pari a 20 + 273 = 293 K

Da cui n = 1.38 atm ∙ 28 L/ 0.08206 ∙ 293 = 1.61 moli

La massa dell’aria contenuta nel recipiente è 1.61 mol ∙ 29 g/mol= 46.7 g = 0.0467 Kg

Calcoliamo la temperatura finale dalla legge di Gay-Lussac:

p₁/T₁ = p₂/T₂

sostituendo i dati noti:

140/293 =345/ T₂

Da cui T₂ = 722 K

Possiamo quindi calcolare Q:

Q = ΔU = m C_v(T₂– T₁) = 0.0467 kg ∙ 0.718 kJ/kg K ( 722- 293 ) = 14.4 kJ

2)      Un cilindro munito di pistone libero di muoversi contiene 0.10 Kg di aria alla pressione di 120 kPa. Una resistenza elettrica contenuta nel cilindro viene collegata a una batteria da 12 V. Quando una corrente di 1.5 A viene fatta passare attraverso la resistenza per 90 s il pistone sale spazzando un volume di 0.010 m³. Assumendo che pistone e cilindro siano isolati e che l’aria abbia un comportamento ideale calcolare l’aumento di temperatura sapendo che C_v = 700 J/kg K

L’energia erogata dalla batteria è data da:

E = V I t = 12 ∙ 1.5 ∙ 90 = 1620 J

A pressione costante il lavoro è dato da:

W = – ⨜p dV = – p (V₂ – V₁) = – 120000 Pa  ∙ 0.01 = 1200 J

Da cui ΔU = 1620 – 1200 = 420 J

Poiché ΔU = m C_v ΔT si ha:

ΔT = ΔU / m C_v  = 420 J / 0.10 Kg ∙ 700 J/kg K = 6 K

3)     Un recipiente di 0.1 m³ contiene aria a 14 MPa alla temperatura di 50°C viene collegato, tramite una valvola a un recipiente in cui è stato fatto il vuoto di volume 15 m³. Calcolare la pressione finale dopo che la valvola è stata aperta e il gas si è espanso considerando il sistema isolato

In questo processo Q = 0 e W = 0 e pertanto ΔU = 0

Quindi poiché ΔU = mC_vΔT = 0 si deve avere che ΔT = 0

A temperatura costante vale la legge di Boyle e quindi:

p₁V₁ = p₂V₂

tenendo conto che V₂ = 0.1 + 15 = 15.1 m³ si ha:

14 x 0.1 = p₂ ∙ 15.1

da cui p₂ = 0.0927 MPa

4)      In una compressione adiabatica 220 kg di CO₂ a 27°C e alla pressione di 1 atm vengono portati a 1/5 del volume iniziale. Il sistema viene poi raffreddato a volume costante e portato alla sua temperatura iniziale. Calcolare Q, ΔU e W per ogni fase e per l’intero processo sapendo che γ = 1.3

Per un gas ideale in un processo adiabatico si ha:

pV ^γ = costante pertanto possiamo scrivere:

p₁V₁ ^γ = p₂V₂ ^γ

da cui: p₁/p₂ = (V₂/V₁)^γ

ovvero: (p₁/p₂)^1/γ = V₂/V₁

Inoltre per un gas ideale p = nRT/V

Sostituendo a p il suo valore nell’espressione pV ^γ  si ha:

nRT V^γ/V = costante

ovvero:

nRT V^γ-1 = costante

quindi:

nRT₁ V₁ ^γ-1 = nRT₂ V₂ ^γ-1

semplificando nR si ha:

T₁ V₁ ^γ-1 = T₂ V₂ ^γ-1

Ovvero:  T₂ /T₁ = (V₁/V₂)^γ-1

L’espressione del lavoro in un processo adiabatico è:
W = – n C_v ΔT = – C_v (p₂V₂ – p₁V₁)/R = (p₂V₂ – p₁V₁)/γ-1

Per il primo principio della termodinamica:

ΔU = Q + W

e, essendo la prima fase del processo adiabatica, Q = 0 si ha:

ΔU = mC_v (T₂ – T₁)

Per risolvere il problema calcoliamo le moli di CO₂:

moli di CO₂ = 220000 g/ 44 g/mol=5000 = 5 kmol

V₁ = nRT/p = 5000 ∙ 0.08206 ∙ 300 K/1 atm = 1.23 ∙ 10⁵ dm³ = 123 m³

Poiché V₂ è 1/5 di V₁ si ha:
V₂ = 123/5=24.6 m³

Dalla relazione T₁V₁^γ-1 = T₂V₂^γ-1

Si ha T₂ = T₁(V₁/V₂)^γ-1

T₂ = 300 K ( 123/24.6)^1.3-1 = 300 (5)^0.3 = 486.2 K

E dalla relazione p₁/p₂ = (V₂/V₁)^γ si ha: p₂= p₁/ (V₂/V₁)^γ

p₂ = 1 atm / (24.6/ 123)^1.3 = 8.10 atm = 8.21 ∙ 10⁵  Pa

W  = (p₂V₂ – p₁V₁)/γ-1 = 8.21 ∙ 10⁵  ∙ 24.6 – 1.01 ∙ 10^-5 ∙ 123/ 0.3 = 2.60 ∙ 10⁷ J

Poiché nella seconda fase del processo si ritorna alla situazione iniziale si ha ΔU = – 2.60 ∙ 10⁷ J e il lavoro è pari è zero

In definitiva: