Gli esercizi di termodinamica prendono spunto dai principi della termodinamica, dalle funzioni di stato e dalle grandezze coinvolte.
Il primo principio della termodinamica, per una generica trasformazione infinitesima effettuata da un sistema, si può scrivere :
dU = dQ – dW
Se il lavoro in gioco è solo di tipo meccanico si ha :
dU = dQ – pdV
tale equazione può essere utilizzata per le trasformazioni di un gas perfetto.
Esercizi di termodinamica
1) Un recipiente rigido avente volume 28 L contenente aria alla pressione di 140 kPa e alla temperatura di 20°C è riscaldato fin quando la pressione raggiunge i 345 kPa. Calcolare il calore fornito considerando che il peso molecolare dell’aria sia di 29 u e che Cv sia di 0.718 kJ/kg K
Secondo il primo principio della termodinamica:
Q + W = ΔU
Per un gas ideale la variazione di energia interna è funzione solo della temperatura e quindi ΔU = m Cv(T2– T1) . Il processo avviene a volume costante si ha che il lavoro fatto è pari a zero pertanto:
Q = ΔU
Per ottenere Q è quindi necessario calcolare m, la massa dell’aria contenuta nel recipiente.
Dall’equazione di stato dei gas ideali n= pV/RT
Convertiamo la pressione iniziale in atm:
p = 140000 Pa/ 101325 Pa/atm = 1.38 atm
La temperatura T è pari a 20 + 273 = 293 K
Da cui n = 1.38 atm ∙ 28 L/ 0.08206 ∙ 293 = 1.61 moli
La massa dell’aria contenuta nel recipiente è 1.61 mol ∙ 29 g/mol= 46.7 g = 0.0467 Kg
Calcoliamo la temperatura finale dalla legge di Gay-Lussac:
p1/T1 = p2/T2
sostituendo i dati noti:
140/293 =345/ T2
Da cui T2 = 722 K
Possiamo quindi calcolare Q:
Q = ΔU = m Cv(T2– T1) = 0.0467 kg ∙ 0.718 kJ/kg K ( 722- 293 ) = 14.4 kJ
2) Un cilindro munito di pistone libero di muoversi contiene 0.10 Kg di aria alla pressione di 120 kPa. Una resistenza elettrica contenuta nel cilindro viene collegata a una batteria da 12 V. Quando una corrente di 1.5 A viene fatta passare attraverso la resistenza per 90 s il pistone sale spazzando un volume di 0.010 m3. Assumendo che pistone e cilindro siano isolati e che l’aria abbia un comportamento ideale calcolare l’aumento di temperatura sapendo che Cv = 700 J/kg K
L’energia erogata dalla batteria è data da:
E = V I t = 12 ∙ 1.5 ∙ 90 = 1620 J
A pressione costante il lavoro è dato da:
W = – ⨜p dV = – p (V2 – V1) = – 120000 Pa ∙ 0.01 = 1200 J
Da cui ΔU = 1620 – 1200 = 420 J
Poiché ΔU = m Cv ΔT si ha:
ΔT = ΔU / m Cv = 420 J / 0.10 Kg ∙ 700 J/kg K = 6 K
3) Un recipiente di 0.1 m3 contiene aria a 14 MPa alla temperatura di 50°C viene collegato, tramite una valvola a un recipiente in cui è stato fatto il vuoto di volume 15 m3. Calcolare la pressione finale dopo che la valvola è stata aperta e il gas si è espanso considerando il sistema isolato
In questo processo Q = 0 e W = 0 e pertanto ΔU = 0
Quindi poiché ΔU = mCvΔT = 0 si deve avere che ΔT = 0
A temperatura costante vale la legge di Boyle e quindi:
p1V1 = p2V2
tenendo conto che V2 = 0.1 + 15 = 15.1 m3 si ha:
14 x 0.1 = p2 ∙ 15.1
da cui p2 = 0.0927 MPa
4) In una compressione adiabatica 220 kg di CO2 a 27°C e alla pressione di 1 atm vengono portati a 1/5 del volume iniziale. Il sistema viene poi raffreddato a volume costante e portato alla sua temperatura iniziale. Calcolare Q, ΔU e W per ogni fase e per l’intero processo sapendo che γ = 1.3
Per un gas ideale in un processo adiabatico si ha:
pV γ = costante pertanto possiamo scrivere:
p1V1 γ = p2V2 γ
da cui: p1/p2 = (V2/V1)γ
ovvero: (p1/p2)1/γ = V2/V1
Inoltre per un gas ideale p = nRT/V
Sostituendo a p il suo valore nell’espressione pV γ si ha:
nRT Vγ/V = costante
ovvero:
nRT Vγ-1 = costante
quindi:
nRT1 V1 γ-1 = nRT2 V2 γ-1
semplificando nR si ha:
T1 V1 γ-1 = T2 V2 γ-1
Ovvero: T2 /T1 = (V1/V2)γ-1
L’espressione del lavoro in un processo adiabatico è:
W = – n Cv ΔT = – Cv (p2V2 – p1V1)/R = (p2V2 – p1V1)/γ-1
Per il primo principio della termodinamica:
ΔU = Q + W
e, essendo la prima fase del processo adiabatica, Q = 0 si ha:
ΔU = mCv (T2 – T1)
Per risolvere il problema calcoliamo le moli di CO2:
moli di CO2 = 220000 g/ 44 g/mol=5000 = 5 kmol
V1 = nRT/p = 5000 ∙ 0.08206 ∙ 300 K/1 atm = 1.23 ∙ 105 dm3 = 123 m3
Poiché V2 è 1/5 di V1 si ha:
V2 = 123/5=24.6 m3
Dalla relazione T1V1γ-1 = T2V2γ-1
Si ha T2 = T1(V1/V2)γ-1
T2 = 300 K ( 123/24.6)1.3-1 = 300 (5)0.3 = 486.2 K
E dalla relazione p1/p2 = (V2/V1)γ si ha: p2= p1/ (V2/V1)γ
p2 = 1 atm / (24.6/ 123)1.3 = 8.10 atm = 8.21 ∙ 105 Pa
W = (p2V2 – p1V1)/γ-1 = 8.21 ∙ 105 ∙ 24.6 – 1.01 ∙ 10-5 ∙ 123/ 0.3 = 2.60 ∙ 107 J
Poiché nella seconda fase del processo si ritorna alla situazione iniziale si ha ΔU = – 2.60 ∙ 107 J e il lavoro è pari è zero
In definitiva:
|
Q |
W |
ΔU |
|
| Prima fase | 0 | 2.60 ∙ 107 J | 2.60 ∙ 107 J |
| Seconda fase | – 2.60 ∙ 107 J | 0 | – 2.60 ∙ 107 J |
| Totale | – 2.60 ∙ 107 J ( calore rimosso dal sistema) | 2.60 ∙ 107 J (lavoro fatto sul sistema) | 0 |