Equilibrio con due soluzioni positive

Quando si risolve un esercizio sull’equilibrio chimico spesso ci si imbatte nella risoluzione di equazioni di secondo grado.

La loro soluzione può essere evitata facendo delle approssimazioni; ad esempio se si vuole trovare la concentrazione dello ione H⁺ derivante dalla dissociazione dell’acido acetico (K_a = 1.8 ∙ 10^-5) presente in una soluzione 0.10 M sapendo che, all’equilibrio, [H⁺]=[CH₃COO^–] = x e [CH₃COOH] = 0.10 –x

Sostituendo questi valori nell’espressione della costante di equilibrio si ha:

K_a = 1.8 ∙ 10^-5 = [H⁺][CH₃COO^–]/[CH₃COOH] = (x)(x)/0.10-x

che è un’equazione di 2°.

Tuttavia si può riscontrare che, trascurando la x sottrattiva presente al denominatore, l’equazione si riduce a 1.8 ∙ 10^-5 = x²/0.10 . Si ha 1.8 ∙ 10^-6 = x² ovvero di un’equazione di secondo grado mancante del termine di primo grado. Estraendo la radice si ottengono due radici: x₁ = 0.0013 e x₂ = – 0.0013. Quest’ultima radice va scartata in quanto non può esistere una radice negativa pertanto [H⁺]= 0.0013 M.

Semplificazioni

In altri casi si può procedere a semplificazioni di tipo matematico. Ad esempio se si vogliono calcolare le concentrazioni delle specie all’equilibrio della reazione H₂ + I₂ ⇌ 2 HI nell’ipotesi che le concentrazioni iniziali di H₂ e di I₂ siano entrambe 0.200 M sapendo che K_c alla temperatura a cui avviene la reazione vale 64.0 si procede nella risoluzione sapendo che [H₂]=[I₂] = 0.200-x e che [HI]= 2x.

Sostituendo questi valori nell’espressione della K_c si ha:

K_c = 64.0 = [HI]²/[H₂][I₂] = (2x)²/(0.200-x)(0.200-x) = (2x)²/(0.200-x)²

Questa equazione di 2° può essere ricondotta a un’equazione di 1° estraendo la radice da ambo i membri:

8.0 = 2x/0.200-x

Ovvero 1.6 – 8.0x =2x da cui 1.6 = 10 x e quindi x = 0.16

Se si fosse risolta l’equazione di 2° si sarebbero ottenute due radici ovvero x₁ =0.16 e x₂ = – 0.16, ma, come prima la radice negativa va scartata.

Vi sono poi casi in cui non si può fare a meno di risolvere l’equazione di 2° e, nella maggior parte di essi una delle due radici è negativa e va scartata.

Si presentano anche casi in cui le radici sono entrambe positive quindi bisogna ragionare quale di esse va scartata.

Esercizi

• Per la reazione A + B ⇌ C + D la costante Kc ad una certa temperatura vale 49.0. Calcolare le concentrazioni delle specie all’equilibrio se la concentrazione iniziale di A è 0.300 M e quella di B è 0.100 M.

All’equilibrio: [A] = 0.300-x; [B] = 0.100-x; [C]=[D] = x

Sostituendo questi valori nell’espressione di K_c si ha:

K_c = 49.0 = [C][D]/[A][B] = (x)(x)/ (0.300-x)(0.100-x)

Si deve quindi risolvere l’equazione non potendo fare alcuna approssimazione:

49.0 = x²/ x² – 0.400x + 0.0300

Moltiplicando ambo i membri per il denominatore si ha:

49 x² – 19.6 x + 1.47 = x² ovvero:

48 x² – 19.6 x + 1.47 = 0

x = 19.6 ±√(-19.6)² – 4(48)(1.47)/ 96

Si ha: x₁ = 0.309 e x₂ = 0.0990 che sono entrambe positive.

Tra queste due soluzioni dell’equazione solo una ha un significato fisico infatti la radice 0.309 non può essere presa in considerazione in quanto sia 0.300- 0.309 che 0.100-0.309 sono valori inferiori a zero. Quindi l’unica radice che può essere considerata è 0.0990. Si ha pertanto:

[A] = 0.300-0.0909 = 0.209 M ; [B] = 0.100- 0.0909 = 0.0091 M; [C]=[D] = 0.0909 M

2)  Per la reazione COCl₂ ⇌ CO + Cl₂ la costante K_c ad una certa temperatura vale 0.680. Calcolare le concentrazioni delle specie all’equilibrio se la concentrazione iniziale di CO è 0.500 M e la concentrazione iniziale di Cl₂ vale 1.00 M

Essendo presenti, all’inizio della reazione, solo i reagenti la reazione decorre verso sinistra e all’equilibrio:

[CO] = 0.500-x; [Cl₂] = 1.00-x; [COCl₂] = x

Sostituendo questi valori nell’espressione della costante di equilibrio si ha:

K_c = 0.680 = [CO] [Cl₂]/[COCl₂] = (0.500-x)(1.00-x)/x

Si deve quindi risolvere l’equazione non potendo fare alcuna approssimazione:

0.680 = x²– 1.5 x+0.5/x

Moltiplicando ambo i membri per x si ha:

0.680 x = x²-1.25 x+0.5

x²– 2.18 x+ 0.5 = 0

x = 2.18 ±√(2.18)² – 4(0.5)/2

Si ha x₁ = 1.92 e x₂ = 0.260 che sono entrambe positive.

Tra queste due soluzioni dell’equazione solo una ha un significato fisico infatti la radice 1.92 non può essere presa in considerazione in quanto sia 0.500-1.92 che 1.00-1.92 sono valori inferiori a zero. Quindi l’unica radice che può essere considerata è 0.260.

[CO] = 0.500-0.260 = 0.240 M ; [Cl₂] = 1.00-0.260 = 0.740 M; [COCl₂] = 0.260 M