Lavoro fatto da una forza variabile

La determinazione del lavoro fatto da una forza variabile richiede maggiori conoscenze rispetto a quelle necessarie se la forza è costante.

Infatti se la forza è costante e la forza e lo spostamento sono paralleli e concordi, la componente della forza nella direzione dello spostamento è proprio la forza stessa.

Pertanto il lavoro è dato dal prodotto del modulo della forza per la distanza x percorsa dal corpo e pertanto:

W = F · x

Se la forza e lo spostamento non hanno la stessa direzione si deve considerare la componente della forza lungo la direzione dello spostamento. Detto θ l’angolo che la forza forma con lo spostamento si ha:
W = F · x · cos θ

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Grafico

Per calcolare il lavoro fatto da una forza variabile che, per semplicità varia solo in modulo, si consideri il seguente grafico in cui si riporta F in funzione di x

Si divide lo spostamento totale in un gran numero di piccoli intervalli Δx in cui la forza si può considerare costante e il lavoro fatto è:

ΔL = F ·Δx

Calcolo del lavoro fatto da una forza variabile

Prendendo l’intervallo Δx sempre più piccolo si ottiene una approssimazione migliore.

Facendo tendere Δx a zero il numero di intervalli tende a infinito con il risultato di ottenere un risultato esatto. Pertanto il lavoro è dato da:

W = lim _{Δx → 0}  Σ F ·Δx

In cui la sommatoria è estesa da x_i a x_f. Questa non è altro che la definizione di integrale di F rispetto a x da x_i a x_f.

Pertanto:

Numericamente il lavoro è uguale all’area sottostante la curva della forza compresa tra x_i e x_f.

Esempio

A una molla di lunghezza 30 cm è applicata una forza di 50 N. A seguito dell’applicazione di questa forza la molla si allunga a 35 cm. Calcolare il lavoro necessario per far allungare la molla da 32 a 36 cm

L’allungamento della molla è pari a 35-30 = 5 cm = 0.05 m

Si calcola la costante della molla applicando la legge di Hooke:

k = F/x = 50 N/0.05 m = 1000 N/m

Lo spostamento da 30 a 32 cm vale 2 cm (0.02 m) e quello da 30 a 36 cm vale 6 cm (0.06 m)

Si deve quindi calcolare l’integrale definito da 0.02 a 0.06 di  1000 x in dx

Il numero 1000 è una costante ed esce fuori dall’integrale che rimane di x in dx

Il valore dell’integrale è x²/2

Sostituendo i limiti di integrazione si ha:

W = (0.06)²/2 – (0.02)²/2 = 0.0016 J