La determinazione del lavoro fatto da una forza variabile richiede maggiori conoscenze rispetto a quelle necessarie se la forza è costante.
Infatti se la forza è costante e la forza e lo spostamento sono paralleli e concordi, la componente della forza nella direzione dello spostamento è proprio la forza stessa.
Pertanto il lavoro è dato dal prodotto del modulo della forza per la distanza x percorsa dal corpo e pertanto:
W = F · x
Se la forza e lo spostamento non hanno la stessa direzione si deve considerare la componente della forza lungo la direzione dello spostamento. Detto θ l’angolo che la forza forma con lo spostamento si ha:
W = F · x · cos θ
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Grafico
Per calcolare il lavoro fatto da una forza variabile che, per semplicità varia solo in modulo, si consideri il seguente grafico in cui si riporta F in funzione di x
Si divide lo spostamento totale in un gran numero di piccoli intervalli Δx in cui la forza si può considerare costante e il lavoro fatto è:
ΔL = F ·Δx
Calcolo del lavoro fatto da una forza variabile
Prendendo l’intervallo Δx sempre più piccolo si ottiene una approssimazione migliore.
Facendo tendere Δx a zero il numero di intervalli tende a infinito con il risultato di ottenere un risultato esatto. Pertanto il lavoro è dato da:
W = lim Δx → 0 Σ F ·Δx
In cui la sommatoria è estesa da xi a xf. Questa non è altro che la definizione di integrale di F rispetto a x da xi a xf.
Pertanto:
Numericamente il lavoro è uguale all’area sottostante la curva della forza compresa tra xi e xf.
Esempio
A una molla di lunghezza 30 cm è applicata una forza di 50 N. A seguito dell’applicazione di questa forza la molla si allunga a 35 cm. Calcolare il lavoro necessario per far allungare la molla da 32 a 36 cm
L’allungamento della molla è pari a 35-30 = 5 cm = 0.05 m
Si calcola la costante della molla applicando la legge di Hooke:
k = F/x = 50 N/0.05 m = 1000 N/m
Lo spostamento da 30 a 32 cm vale 2 cm (0.02 m) e quello da 30 a 36 cm vale 6 cm (0.06 m)
Si deve quindi calcolare l’integrale definito da 0.02 a 0.06 di 1000 x in dx
Il numero 1000 è una costante ed esce fuori dall’integrale che rimane di x in dx
Il valore dell’integrale è x2/2
Sostituendo i limiti di integrazione si ha:
W = (0.06)2/2 – (0.02)2/2 = 0.0016 J