Trasformazione adiabatica: equazione di Poisson

Una trasformazione adiabatica è un processo che avviene senza trasferimento di calore o massa tra sistema e ambiente.

Contrariamente a quanto avviene in una trasformazione isotermica, una trasformazione adiabatica trasferisce energia all’ambiente solo sotto forma di lavoro. In una trasformazione adiabatica quindi si ha che dQ = 0

Applicando il primo principio della termodinamica a tale trasformazione per la quale si verifica dQ =0  si ha:

dU = – dL

Si possono verificare due casi:

• dL > 0 ovvero il sistema compie lavoro sull’esterno
• dL < 0 ovvero viene compiuto lavoro sul sistema

Nel primo caso il lavoro compiuto dal sistema è fatto a spese dell’energia interna che risulta minore di zero

Nel secondo caso il lavoro compiuto sul sistema è immagazzinato come energia interna che, infatti, risulta essere maggiore di zero

Si può inoltre dedurre che, poiché dU = nC_vdT = – dL

A un lavoro fatto dal sistema corrisponde una diminuzione di temperatura dello stesso, mentre a un lavoro fatto sul sistema corrisponde un aumento della temperatura.

Lavoro adiabatico per un processo finito

Da quest’ultima equazione per integrazione si ottiene il lavoro adiabatico per un processo finito:
L = – nC_vΔT

Per trovare una relazione che leghi tra loro le variabili di stato (p, V e T) in un processo adiabatico ricordiamo che:

dU = nC_vdT = – dL

dL = pdV

da cui  nC_vdT = – pdV  (1)

ricavando p dall’equazione di stato dei gas ideali si ha p = nRT/V

sostituendo p nell’equazione (1) si ha:

 nC_vdT = – nRT/V  dV

da cui separando le variabili V e T

– dT/T = R/C_v dV/V

ricordando che R = C_p – C_v e ponendo C_p/C_v =γ otteniamo:

– dT/T = C_p – C_v/C_v dV/V =[( C_p – /C_v )- 1] dV/V = (γ-1) dV/V

Integrando tra lo stato iniziale (1) e quello finale (2) del processo:-  ∫dT/T =(γ-1)  ∫ dV/V

E risolvendo:

– ln T₂/T₁ = (γ-1) ln V₂/V₁

Da cui per le proprietà dei logaritmi: ln T₂/T₁ = ln (V₂/V₁)^γ-1

Da cui T₁V₁^γ-1 = T₂V₂^γ-2

Equazione di Poisson

Più in generale TV^γ-1 = costante

Tale equazione è detta equazione di Poisson.

Dall’equazione di stato dei gas ideali T = pV/nR. Sostituendo le temperature T₁= p₁V₁/nR e T₂ = p₂V₂/nR nell’equazione di Poisson si ha:

p₁V₁/nR TV₁  ^γ-1 = p₂V₂/nR TV₂  ^γ-1  e semplificando : p₁V₁ ^γ= p₂V₂ ^γ e in generale:

pV ^γ= costante che è un’altra forma dell’equazione di Poisson

Da notare come tale equazione presenti un’analogia con la legge di Boyle per i gas ideali a temperatura costante pV= costante.

Tabella

Si riportano i calori specifici dei gas ideali espressi in cal/mol K e il rapporto C_p/C_v =γ