Rapporto tra i calori specifici di un gas: legge di Poisson
Il rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante di un gas è di particolare importanza nei calcoli riguardanti l’espansione e la compressione dei gas.
Tale rapporto è indicato con γ ed è dato dalla relazione:
γ = Cp/Cv
Dove Cp è il calore specifico a pressione costante e Cv è il calore specifico a volume costante.
Nel caso di solidi e liquidi la differenza tra Cv eCp è trascurabile nel caso dei gas essa è notevole e precisamente Cp> Cv ovvero la capacità termica a pressione costante è maggiore di quella a volume costante in quanto, a pressione costante, una parte del calore assorbito dal gas viene utilizzato dal sistema per produrre lavoro (pΔV) quando si espande contro una pressione esterna.
Il riscaldamento, infatti, di una mole di gas a volume costante implica la somministrazione di una quantità di calore Cv per aumentare di 1 K la sua temperatura, mentre se il gas è libero di espandersi contro la pressione esterna costante, la quantità di calore erogata non è utilizzata tutta per incrementare la temperatura del gas, ma in parte è impiegata dal sistema per produrre un lavoro di espansione. Per aumentare di 1 K la temperatura di una mole di gas dobbiamo fornire una quantità di calore pari a Cp = Cv + pΔV
Se si scaldano n moli di un gas a volume costante di un incremento infinitesimo di temperatura dT, il calore necessario è dato da: dQv = nCvdT
Primo Principio della termodinamica
Se applichiamo tale processo al Primo principio della termodinamica nella forma: dQ = dU + dL
Nell’ipotesi che il volume resti costante, e che non siano possibili altre forme di lavoro, oltre quello meccanico, deduciamo che:
dL = pe dV = o
per cui:
dQv = dU
questo significa che il calore assorbito dal sistema a volume costante corrisponde all’incremento della sua energia interna. Ricordando che Cv= 1/n( δU/δT)v potremo scrivere Cv= 1/n( δQ/δT)v
Per un gas perfetto, per il quale l’energia interna è solo funzione della temperatura, questa relazione, riferita a una mole diviene:
Cv= dU/dT
Se perciò è nota la dipendenza dell’energia interna dalla temperatura, il calore specifico Cv viene immediatamente dedotto facendo la derivata di tale funzione rispetto a T.
Per determinare il rapporto Cp/Cv i due chimici francesi Clément e Desormes nell’ambito dei loro studi sui gas e sul calore fecero un esperimento usando l’aria, considerata un gas biatomico che prima sottoposero a una compressione adiabatica portando il gas da uno stato iniziale A a uno stato intermedio B e successivamente a una trasformazione isocora fino allo stato C in cui la temperatura era uguale a quella dello stato iniziale.
Si noti che la temperatura in B è maggiore rispetto a quella dello stato A in quanto una compressione adiabatica produce un aumento di temperatura.
Legge di Poisson
Nelle trasformazioni adiabatiche, ovvero in quelle trasformazioni che avvengono senza scambi di calore con l’esterno vale la legge di Poisson:
PAVAγ = PBVBγ
pertanto:
(PA/PB) = (VB/VA)γ (1)
Dall’equazione di stato dei gas si ha, posto n = 1 che:
VA = RTA/PA e VB = RTB/PB e pertanto il rapporto VB/VA ottenuto dividendo membro a membro è pari a:
VB/VA = TBPA/ TAPB
Da cui (TBPA/ TAPB) γ = PA/PB
Trasformazione isocora
Nella trasformazione isocora dalla stato B alla stato C per la legge di Gay-Lussac si ha:
PB /TB = PC/ TC
In cui TC = TA
In tal modo è dimostrato che il rapporto tra TB e TA è uguale al rapporto tra PB e PC pertanto:
(PA/PC)γ = PA/PB
Passando ai logaritmi naturali di ambo i membri si ha:
γ = ( ln PA/PB) / ( ln PA/PC)
