Meccanica quantistica: equazioni fondamentali

La meccanica quantistica, con la teoria della relatività, rappresenta uno spartiacque tra la fisica classica e la fisica moderna
La meccanica quantistica risale  agli inizi del XX secolo grazie ai contributi di numerosi fisici che, con i loro studi, diedero slancio a nuove teorie

La materia, le sue proprietà e i cambiamenti a cui va incontro, dipendono dalla struttura elettronica degli atomi presenti. La meccanica quantistica è il campo della fisica che spiega come oggetti estremamente piccoli abbiano contemporaneamente le caratteristiche sia di particelle che di onde. Infatti nella meccanica quantistica, le particelle a volte possono esistere come onde e talvolta come particelle.

Quando si studia il mondo subparticellare e, in particolare la luce e l’elettrone, le leggi della fisica classica risultano essere inadeguate; alla fine del XIX secolo, infatti, numerosi esperimenti mostrarono risultati che erano in profonda contraddizione con i fondamenti della fisica classica e portarono alla costruzione della meccanica quantistica. Numerosi furono gli scienziati che con i loro studi hanno dato il loro contributo allo sviluppo della meccanica quantistica.

Scienziati e meccanica quantistica

Max Planck ( premio Nobel per la Fisica 1918) e la quantizzazione dell’energia

Max Planck elaborò la teoria dei quanti che si basa sul fatto che alcune grandezze come energia e momento angolare possono variare solo di valori discreti e non continui detti quanti. Gli atomi quindi assorbono ed emettono energia in modo discontinuo per quanti di energia finite e discrete. Secondo l’ipotesi di Planck il contenuto di energia è direttamente proporzionale alla frequenza corrispondente secondo la relazione:
E = hν

in cui  E è l’energia del quanto di luce, h è la costante universale nota come costante di Planck ( h = 6.626 · 10^-34 J · s)  e ν è la frequenza della radiazione.

Albert Einstein ( premio Nobel per la Fisica 1921) e la teoria della relatività

E’ limitativo restringere il contributo alla scienza fornito da Einstein ad una formula in quanto quello che è uno dei più noti scienziati del mondo mutò radicalmente il modello di interpretazione del mondo fisico in quanto, tra l’altro, dimostrò la validità della teoria dei quanti di Planck nell’ambito della spiegazione dell’effetto fotoelettrico dei metalli, elaborò la teoria della relatività ristretta e successivamente quella della relatività generale.

Dalla formula più famosa del mondo che Einstein propose alla comunità scientifica ovvero
E = mc²

in cui  E è l’energia, m la massa e c la velocità della luce, egli dimostrò che la materia e l’energia sono 2 aspetti di una identica realtà. Ogni singola particella di materia si trasforma continuamente in energia e viceversa, in un pulsare senza fine, una sorta di danza cosmica. Einstein asserì infatti che: “Noi possiamo perciò considerare la materia come costruita dalle regioni dello spazio nelle quali il campo è estremamente intenso… In questo nuovo tipo di fisica non c’è un luogo insieme per campo e materia poiché il campo è la sola realtà”.

Niels Bohr ( premio Nobel per la Fisica 1922) e la moderna teoria atomica

Nell’ambito dei suoi studi sullo spettro di assorbimento e di emissione dell’idrogeno, Bohr ipotizzò che gli elettroni si muovessero secondo orbite circolari ad energia quantizzata ed inoltre che fosse quantizzato anche il loro momento angolare. Un elettrone in un’orbita di Bohr non emette continuamente una radiazione elettromagnetica e pertanto la sua energia è costante, l’orbita viene detta orbita stazionaria.

Una radiazione elettromagnetica viene emessa solo quando un elettrone passa da un’orbita a maggiore energia a un’orbita a minore energia: in tal caso l’energia persa ΔE è emessa come un quanto di radiazione avente frequenza ν data dalla equazione di Planck- Einstein:

ΔE = hν  

Questa condizione consente di prevedere che le frequenze della radiazione emessa da un atomo di idrogeno ha solo determinati valori.

Louis de Broglie ( premio Nobel per la Fisica 1929) e il dualismo onda-particella

Louis de Broglie sostenne che come la luce possiede proprietà corpuscolari e ondulatorie, tutta la materia abbia anche proprietà ondulatorie: a un corpo di massa m e di velocità v  veniva infatti associata un’onda di lunghezza d’onda λ.

Le particelle si potevano quindi considerare in possesso di proprietà ondulatorie e suggerì che la lunghezza d’onda associata all’ “onda di materia” fosse inversamente proporzionale alla massa della particella m e alla sua velocità v secondo l’equazione:

λ = h/mv

Il prodotto mv prende il nome di momento lineare p della particella pertanto l’equazione di de Broglie può essere formulata come:

λ = h/p

Werner Heisenberg ( premio Nobel per la Fisica 1932) e il principio di indeterminazione

Prendendo spunto dalle scoperte di de Broglie e di Bohr, Heisenberg studiò il moto degli elettroni in un atomo. Egli individuò delle grandezze tra loro correlate dette “coniugate” che non possono essere conosciute con esattezza allo stesso tempo: la determinazione precisa dell’una, infatti, rende più incerta la determinazione dell’altra.

Heisenberg suppose che a livello subatomico la velocità e la posizione di una particella in movimento fossero indeterminate. Secondo tale principio, noto come principio di indeterminazione di Heisenberg quanto maggiore è l’accuratezza nella misurazione della posizione di una particella subatomica, tanto minore è la precisione inerente alla misurazione della velocità e viceversa e pertanto si può ritenere che in qualsiasi istante una particella subatomica abbia una posizione e una velocità determinati. La formula che descrive l’indeterminazione di posizione e quantità di moto afferma che il prodotto della massima accuratezza con cui si possono determinare queste due grandezze è data da:

Δx Δp ≥  ђ / 4 π

in cui Δx è l’errore sulla posizione, Δp è l’errore sulla quantità di moto e ђ vale:

ђ = h/2π

essendo h la costante di Planck.

Erwin  Schrödinger ( premio Nobel per la Fisica 1933)

Schrödinger  diede un contributo importantissimo allo sviluppo della meccanica quantistica elaborando per le funzioni d’onda un’equazione analoga alle equazioni della meccanica classica. Gli studi che erano stati fatti in precedenza avevano dimostrato che un raggio di elettroni si comporta come se fosse un’onda e può essere diffratto da un opportuno reticolo e se esistono delle onde, deve esistere anche un’equazione d’onda che le rappresenti.

L’equazione d’onda di Schrödinger  è in relazione al carattere probabilistico della nostra conoscenza. Secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg non si può mai sapere esattamente dove sia  una particella e, in tali condizioni, il meglio che si può fare è  determinare la probabilità che si trovi in una data regione.

La posizione della particella può essere definita secondo una funzione di probabilità. Tale funzione varia da luogo a luogo secondo la probabilità che la particella si trovi in ogni particolare regione. Se indichiamo la funzione con ρ(x,y,z), si avrà maggiore probabilità di trovare la particella in quelle regioni dove ρ è più grande e dato che la particella deve essere da qualche parte, la probabilità totale è uguale all’unità cioè:

∫ρ dτ = 1

Posto che la soluzione dell’equazione d’onda di una particella sia una funzione ψ(x,y,z) si può anticipare che ρ(x,y,z) ∝ ψ ² (x,y,z)

Conseguentemente l’equazione precedente diventa:

∫ ψ ² dτ =1

Equazione d’onda

L’equazione d’onda, che costituisce una pietra miliare della meccanica quantistica, ha un infinito numero di soluzioni, ma non tutte sono corrispondenti ad una realtà fisica o chimica

e tali soluzioni sono inaccettabili. Le funzioni d’onda, infatti, devono soddisfare ad alcune condizioni. Nel caso di un elettrone legato a un atomo o ad una molecola si può stabilire che la  ψ  deve essere ovunque finita,  ad un solo valore e continua infatti se avesse valori diversi le soluzioni sarebbero infinite.

L’equazione d’onda contiene in uno dei suoi termini l’energia totale E dell’elettrone e perciò molte soluzioni dipendono da E. stabilire che solo alcune di queste possibili soluzioni sono funzioni d’onda accettabili, significa che solo per certi valori di energia, esistono funzioni di probabilità fisicamente significative. Si definiscono questi stati stati stazionari, poiché ad essi corrisponde un’energia costante. Le energie sono dette autovalori e le corrispondenti funzioni d’onda autofunzioni.

“ La conquista dell’energia atomica ha cambiato tutto tranne il nostro modo di pensare…

La soluzione dei nostri problemi si trova nel cuore dell’uomo. Se solo lo avessi saputo, avrei fatto l’orologiaio” A. Einstein