Formula di Rydberg. Esercizi, lunghezza d’onda delle linee spettrali

La formula di Rydberg così chiamata in onore del fisico  svedese Johannes Rydberg rappresenta una generalizzazione della formula di Balmer e consente la determinazione empirica delle lunghezze d’onda delle linee spettrali dell’idrogeno.

La formula di Rydberg è una formula matematica per calcolare la lunghezza d’onda della luce emessa da un elettrone che si muove tra i livelli energetici di un atomo
Un elettrone di un atomo di idrogeno in un determinato stato stazionario, caratterizzato dai numeri quantici n, l e m dovrebbe, in linea di principio, rimanere in quello stato indefinitamente.

spettro dellidrogeno da Chimicamo
spettro dell’idrogeno

In realtà, se lo stato viene perturbato, come ad esempio con l’interazione con un fotone, l’elettrone può avere una transizione a un altro stato stazionario caratterizzato da altri numeri quantici. Si supponga che un elettrone di un atomo di idrogeno compia una transizione passando dal numero quantico principale ni al numero quantico principale nf. . La variazione di energia dell’elettrone associata alla transizione è data da:

ΔE = Eo ( 1/ nf2  – 1/ni2)

Se il valore di ΔE è negativo l’elettrone emette un fotone avente frequenza pari a ν = – ΔE /λ mentre se il valore di ΔE è positivo l’elettrone assorbe un fotone di energia avente frequenza pari a ν = -ΔE /λ.

lunghezza d'onda
lunghezza d’onda

Poiché 1/λ = ν/c essendo c la velocità della luce si ha  che le possibili lunghezze d’onda dei fotoni emesse da un atomo di idrogeno quando un elettrone ha una transizione tra due diversi livelli energetici sono date da:

1/λ = R ( 1/ nf2  – 1/ni2)

dove R è la costante di Rydberg il cui valore è pari a 109677.57 cm-1

Esercizi sulla formula di Rydberg

1)      Calcolare la lunghezza d’onda della seconda linea della serie di Paschen e mostrare che questa linea cade nella regione dell’infrarosso.

Nella serie di Paschen:

n1 = 3

n2 = 4,5,6…

pertanto la seconda linea della serie di Paschen è data da n1 = 3 e n2 = 5

Dalla formula di Rydberg: 1/λ = R ( 1/ nf2  – 1/ni2) = 109680 ( 1/ 32 – 1/52) = 7.999  ∙ 103 cm-1

e quindi λ = 1/7.999  ∙ 103 cm-1 = 1.282 ∙ 10-4 cm = 1282 nm

Tale lunghezza d’onda cade nel campo dell’infrarosso le cui radiazioni hanno λ che va da 700 nm a 1 mm

2)      Calcolare la lunghezza d’onda per una transizione da ni = 6 a nf = 3 in un atomo di idrogeno

Dalla formula di Rydberg: 1/λ = R ( 1/ nf2  – 1/ni2) = 109680 ( 1/33 – 1/62) = 9140 cm-1

Da cui λ = 1/9140 = 1.094 ∙ 104 cm = 1094 nm

3)      Calcolare ni quando in una transizione a nf = 2 un elettrone in un atomo di idrogeno emette un fotone con lunghezza d’onda di  410.1 nm

410.1 nm = 4.101 x 10-5 cm

Dalla formula di Rydberg: 1/λ = R ( 1/ nf2  – 1/ni2)

Sostituendo:

1/  4.101 ∙ 10-5 cm = 109680 ( 1 / 2 2 – 1/ni2)

2.438 ∙ 104 =  27420 – 109680/ni2

– 3040 = – 109680/ni2

3040 =  109680/ni2

ni2 = 109680/ 3040 = 36

da cui ni = 6

4)      Un elettrone passa da n = 8 a n = 2 mentre un altro elettrone passa da n = 2 a n = 1. Calcolare quale dei due elettroni emette un’energia maggiore

Per il primo elettrone:

1/λ = R ( 1/ nf2  – 1/ni2)

Sostituendo:

1/λ = 109680 ( 1/ 22 – 1/82) = 2.571 ∙ 104 cm-1

Da cui λ = 1/  2.571 ∙ 104 cm-1= 3.890 ∙ 10-5 cm = 3.890 ∙ 10-7 m

Per il secondo elettrone:

1/λ = 109680 ( 1/12 – 1/2 2) = 8.226 ∙ 105 cm-1

da cui λ = 1/  8.226 ∙ 105 cm-1=  1.216 ∙ 10-5 cm = 1.216 ∙ 10-7m

Poiché  E = hν = h c/λ

h = 6.626 ∙ 10-34 m2 kg/ s e c = 299792458 m/s

Si ha per il primo elettrone

E = 6.626 ∙ 10-34 m2kg/ s ∙ 299792458 m/s / 3.890 ∙ 10-7 m= 5.106 ∙ 10-19 kg m2/s2 =   5.106 ∙ 10-19 J

Mentre per il secondo elettrone :

E = 6.626 ∙ 10-34 m2kg/ s ∙ 299792458 m/s / 1.216 x 10-7 m= 1.634 ∙ 10-18 J

Il secondo elettrone quindi emetterà un’energia maggiore

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