Espansione adiabatica di un gas ideale

In una espansione adiabatica quando il gas si espande esso compie lavoro sull’ambiente e la sua l’energia interna diminuisce. L’espansione adiabatica di un gas ideale avviene quando un gas si espande senza scambiare calore con l’ambiente circostante

Osservare il processo di derivazione dell’espansione adiabatica di un gas ideale espone la connessione tra diversi principi fondamentali della fisica e la loro applicazione in termodinamica.

Dal Primo principio della termodinamica si ha:

dU = dQ – pdV

Poiché in una espansione adiabatica dQ = 0 si ha:

dU =  – pdV        (1)

L’energia interna U è funzione di T e di V ovvero U = U(T,V) pertanto:

dU = ( δU/δT)_V dT + (δU/δV)_T dV

nel caso di un’espansione adiabatica (δU/δV)_T =0 e pertanto:

dU = ( δU/δT)_V dT

per definizione il calore specifico a volume costante  C_V = ( δU/δT)_V  quindi:

dU = C_V dT       (2)

uguagliando la (1) e la (2) si ha:

– pdV  = C_V dT       (3)

Dall’equazione di stato di un gas ideale p = nRT/V. Sostituendo a p tale valore nella (3) si ha:

 – nRT/V dV = C_V dT 

Riarrangiando tale equazione si ha:

dT / T = – nR dV/ C_V V   (4)

Equazione dell’espansione adiabatica di un gas ideale

Dalla definizione di entalpia:
dH = dQ + Vdp

in una espansione adiabatica ricordando che dQ = 0 si ha:
dH = Vdp   (5)
quindi: dH = ( δH/δT)_p dT + (δH/δp)_T dV

Essendo (δH/δp)_T dV= 0

Si ha: dH = ( δH/δT)_p dT

per definizione il calore specifico a pressione costante  C_p = ( δH/δT)_p  quindi:

dH = C_p dT     (6)

Dall’equazione di stato dei gas ideali V = nRT/p. Sostituendo tale valore di V nella (5) si ha:

dH = nRT dp/p     (7)

uguagliando la (6) e la (7) si ha:

C_p dT   = nRT dp/p  

Riarrangiando tale equazione si ottiene:

dT/ T = nR dp/ C_p p    (8)

Uguagliando la (4) e la (8) si ha:

– nR dV/ C_V V   =  nR dp/ C_p p 

Ovvero semplificando nR si ha:

– dV/ C_V V   = dp/ C_p p 

Che può essere scritta come:

– C_p/ C_V dV/V = dp/p

Posto C_p/ C_V = γ

Si ha – γ  dV/V = dp/p

Considerando γ come una costante e integrando si ottiene:

– γ  ln V₂/V₁ = ln p₂/p₁

Ovvero:

γ  ln V₁/V₂ = ln p₂/p₁

che può essere scritta come:

 ln (V₁ ^γ/V₂^γ) = ln p₂/p₁

Eliminando i logaritmi:

V₁ ^γ/V₂^γ = p₂/p₁

Che può essere scritta come:

p₁V₁^γ = p₂V₂^γ

che costituisce l’equazione dell’espansione adiabatica di un gas ideale.

Esempi 

Esempi di espansione adiabatica includono uno pneumatico di bicicletta pompato dove si osserva un forte calo di temperatura quando viene rilasciata l’aria e in meteorologia in cui l’aria calda e umida in aumento si espande causando un calo di temperatura e la formazione di nuvole.

L’espansione adiabatica ha applicazioni chiave in campi ingegneristici come i cicli termodinamici, i quadri isolati in gas, la refrigerazione termoacustica, l’ingegneria aerospaziale e i motori automobilistici.

Un esempio di espansione adiabatica di un gas ideale è il processo all’interno del motore a combustione interna di un’auto. Quando la miscela gas-aria nel cilindro viene accesa, si espande rapidamente senza trasferire calore all’ambiente circostante, fornendo la forza per muovere il pistone.

Inoltre nel ciclo di Carnot una delle fasi prevede una espansione adiabatica in cui il gas si espande