Cinetica delle reazioni del primo ordine: equazione, grafici, tempo di dimezzamento

La cinetica delle reazioni del primo ordine dipende linearmente dalla concentrazione di un reagente. Data la reazione A → prodotti l’equazione differenziale che descrive una reazione del primo ordine è data da:
velocità = – d[A]/dt = k[A]¹ = k[A]

in cui k ha dimensione s^-1. Scrivendo l’espressione – d[A]/dt  = k[A] come – d[A]/[A] = kdt ovvero d[A]/[A] = -kdt e integrando ambo i membri si ottiene:
∫_[Ao]^[A] d[A]/[A] = – ∫_to^t kt
Da cui ln[A] – ln[A_o] = -kt
Ovvero ln[A]/[A_o]= – kt  (1)

Riarrangiando
ln[A] = -kt + ln[A_o]
Questa equazione è l’espressione di una retta in cui mx = – kt e n = ln[A_o]. Riportando in grafico ln[A] in  funzione di t si ottiene
una retta con pendenza –k e intercetta ln[A_o].

Grafici

Nelle reazioni del primo ordine riportando in grafico [A] in funzione del tempo si ottiene una curva mentre riportando ln [A] in funzione del tempo si ha una retta

I due grafici sono rappresentati nella figura seguente:

Tempo di dimezzamento

Una grandezza particolarmente importante nello studio della cinetica delle reazioni del primo ordine è il tempo di dimezzamento. Infatti il decadimento radioattivo avviene secondo questa legge cinetica è il tempo di dimezzamento t_1/2 che è il tempo necessario affinché la concentrazione del reagente si dimezzi ovvero:

[A]= ½ [A_o]

Sostituendo nella (1) ad [A] il valore ½ [A_o] ed indicando il tempo con t_1/2 si ha:

ln ½ [A_o]/[A_o] = -kt_1/2

ovvero

ln 1/2 =  – kt_1/2

e dalle proprietà dei logaritmi ln 1 – ln 2 = – kt_1/2

essendo ln 1 = 1 si ha  -ln 2= -kt_1/2

moltiplicando per -1

ln 2 = 0.693 = kt_1/2

Pertanto t_1/2 = 0.693/k

Pertanto in una reazione del primo ordine il tempo di dimezzamento è indipendente dalla concentrazione iniziale ed è inversamente proporzionale alla costante di reazione k.