Decadimento radioattivo: cinetica, tempo di dimezzamento

Il decadimento radioattivo è dovuto alla instabilità di nuclei instabili che subiscono una trasformazione spontanea con emissione di radiazioni ( raggi X, raggi γ) o particelle come β^–.

Legge esponenziale del decadimento radioattivo

La velocità di decadimento dei nuclei instabili obbedisce alla legge esponenziale del decadimento radioattivo enunciata nel 1902 da Rutherford e Soddy. Tale legge può essere ricavata partendo da due premesse:

• La probabilità di disintegrarsi entro un dato intervallo di tempo è uguale per tutti i nuclei instabili di una determinata specie
• La probabilità che un singolo nucleo si disintegri in un dato intervallo di tempo è costante, ovvero non dipende dalla sua età

Consideriamo un sistema che al tempo t contenga un numero N di nuclei instabili uguali: la velocità di decadimento, ovvero il numero di nuclidi instabili che decadono nell’unità di tempo è uguale alla derivata – dN/dt. Il segno negativo indica che si verifica una diminuzione progressiva del numero di nuclei.

Sulla base delle ipotesi fatte la velocità di decadimento al tempo t dipende solo dal numero di nuclei N presenti in quel momento nel sistema:

– dN/dt = λN  (1)

Dove λ è una costante di proporzionalità caratteristica del particolare nuclide considerato detta costante di decadimento e le cui dimensioni sono di secondi ^-1. La (1) può essere scritta nella forma

– dN/N = λ dt (2)

Integrando la (2) si ottiene:

ln N = – λt + cost  (3)

Assumendo che al tempo t = 0 fossero presenti N_o nuclidi instabili si ha:

ln N_o = cost

e sostituendo tale valore della costante di integrazione  della (3) si ha:

ln N = – λt + ln N_o

 e, riordinando i termini, si ricava:

ln N/N_o = – λt  (4)

ovvero:

N = N_o e^-λt  (5)

Per quasi tutti i tipi di decadimento conosciuti il valore di λ è costante e largamente indipendente dalle condizioni fisiche (temperatura, pressione, campi gravitazionali ed elettromagnetici) e chimiche (tipi di composti) in cui i nuclei radioattivi si trovano. La legge del decadimento radioattivo è formalmente analoga all’equazione cinetica delle reazioni unimolecolari.

Periodo di dimezzamento

Per il decadimento radioattivo è utile definire un periodo di dimezzamento T_1/2 che rappresenta il tempo necessario affinché il numero dei nuclei instabili inizialmente presenti nel sistema N_o si dimezzi. Ponendo N(T_1/2 ) = ½ N_o si ottiene, applicando la legge esponenziale (4)

ln N/N_o = ln ½ = – λT_1/2

da cui:

T_1/2  = 1 / λ ln ½  = 1 /λ ln 2 = 0.69315/λ

Il periodo di dimezzamento, come la costante di decadimento, è una grandezza specifica di ciascuna specie di nuclei instabili ed ha valori che possono variare enormemente come risulta dalla seguente tabella:

Dai valori riportati in tabella si può ricavare che per ridurre alla metà il numero dei nuclei instabili occorre, nel caso del ²³⁸U un periodo di tempo enorme pari a 4.5 miliardi di anni, mentre nel caso del ¹³° occorrono solo 8.7 ms.