Bilancio energetico di un sistema fluente stazionario

Per esprimere il bilancio energetico che entra in gioco in processi con movimenti continui di correnti fluide si combina la meccanica con la termodinamica

Una pompa fornisce lavoro W al sistema mentre uno scambiatore di calore fornisce o sottrae la quantità di calore Q. Nelle apparecchiature chimiche si ha a che fare con sistemi che subiscono delle trasformazioni coinvolgenti movimenti continui di correnti fluide.

Energia

L’energia entrante o uscente dalle due sezioni considerate sarà data dalla somma dei seguenti termini:

1)      Energia interna U riferita all’unità di massa

2)   Energia potenziale relativa al piano di riferimento; per la massa m essa è espressa da mgz, essendo:

• • g l’accelerazione di gravità
  • z la quota della sezione valutata lungo un asse verticale z

Riferita all’unità di massa l’energia potenziale risulta espressa da gz =Φ

3)      Energia cinetica ½ mu² essendo u la velocità media in corrispondenza della sezione considerata. Riferita all’unità di massa essa risulta espressa da: ½ u² = K

Variazione di energia

Ne consegue che la variazione di energia subita dalla massa dm nel passaggio dalla sezione 1 alla sezione 2 è espressa da:

[(U₂– U₁) + g( z₂ – z₁) + ½ (u₂² – u₁²)]dm = ( ∆U + ∆Φ+ ∆K) dm

dove ∆ rappresenta un operatore che esprime la differenza fra i valori corrispondenti alla corrente uscente e quelli corrispondenti alla corrente entrante.

In base al principio della conservazione dell’energia tale differenza dovrà uguagliare la somma dell’energia che il sistema riceve dall’ambiente per cui:

( ∆U + ∆Φ+ ∆K) dm = δQ + δW  (1)

Essendo rispettivamente δQ e  δW il calore e il lavoro forniti dall’ambiente. Il termine δW si può a sua volta scindere nella somma di due termini:

δW = (P₁V₁ – P₂V₂) dm + δW_s  (2)

dove: P₁ e P₂ sono le pressioni esistenti in corrispondenza delle sezioni considerate, V₁ e V₂ rappresentano i volumi per massa unitaria.

Il termine (P₁V₁ – P₂V₂) dm rappresenta il lavoro associato alla variazione di pressione che il fluido subisce nel passaggio dalla sezione 1 alla sezione 2.

Il termine δW_s rappresenta il lavoro eseguito sul sistema mediante un dispositivo meccanico ( pompa di circolazione), o eventualmente sottratto mediante una turbina.

Sostituendo a il valore di δW ricavato nella (2) nella (1) si ha:

( ∆U + ∆Φ+ ∆K) dm = δQ +(P₁V₁ – P₂V₂) dm + δW_s 

Ovvero:

( ∆U + ∆Φ+ ∆K+∆PV ) dm = δQ + δW_s   (3)

Entalpia

Ricordando che la variazione di entalpia è data dalla relazione: ∆H = ∆U +p∆V da cui ∆U = ∆H – p∆V e dividendo la (3) per dt si ha:

(∆H + ∆Φ+ ∆K) dm/dt = Ԛ^∙ + Ẇ_s   (4)

dove il rapporto dm/dt rappresenta la portata in massa mentre Ԛ^∙  e Ẇ_s rappresentano rispettivamente la quantità di energia termica e di energia meccanica fornite per unità di tempo (il punto indica la derivata rispetto al tempo).

Dividendo i termini della (4) per dm/dt si ha:

(∆H + ∆Φ+ ∆K) = Ԛ + W_s   (5)

Essendo Q e W_s il calore e il lavoro scambiati per massa unitaria di fluido fluente. Tale equazione è nota come equazione generale del bilancio energetico: essa può essere applicata anche a sistemi in cui siano presenti diverse correnti entranti e diverse correnti uscenti. In tal caso l’operatore ∆ va applicato effettuando la differenza fra la somma dei valori delle grandezze corrispondenti a tutte le correnti uscenti e la somma dei valori corrispondenti a tutte le correnti entranti. Nelle applicazioni alle apparecchiature dell’industria chimica spesso si trascura l’energia potenziale e l’energia cinetica e in tal caso la (5) diviene:

∆H = Ԛ + W_s

Espresso in questa forma il bilancio energetico viene chiamato bilancio entalpico o più semplicemente termico.