Notazione scientifica: esercizi, somma, differenza, rapporto, prodotto, radice quadrata

La notazione scientifica consente di esprimere numeri molto grandi o numeri molto piccoli secondo potenze del dieci evitando di scrivere lunghe file di zeri
Pertanto un numero grande come 33000000 viene scritto come 3.3 ∙ 10⁷ mentre un numero piccolo come 0.000010 viene scritto come 1.0 ∙10^-5.

La notazione scientifica consente, a volte di fare a meno della calcolatrice ed inoltre risulta utile nello svolgimento di calcoli se il suo uso è vietato, come ad esempio, nei test di ingresso nelle facoltà ad accesso programmato.
In chimica trova largo uso quando si usano numeri molto piccoli per indicare, ad esempio, il numero di moli

Somma

Tutti i numeri devono essere espressi con lo stesso esponente del dieci: se i numeri sono entrambi elevati alla stessa potenza essi si sommano pertanto

( 1 ∙ 10⁵) + (4 ∙ 10⁵) = 5 ∙ 10⁵
Se gli esponenti non sono gli stessi allora si devono manipolare affinché presentino lo stesso esponente. Nel caso si voglia eseguire la somma
( 1 ∙ 10⁵) + (3 ∙ 10⁴)
Si può procedere allora ad esprimere uno dei due addendi con esponente del dieci uguale all’altro:
ad esempio 1 ∙ 10⁵ = 10 ∙ 10⁴
si ha quindi ( 1 ∙ 10⁵) + (3 ∙ 10⁴) = (10 ∙ 10⁴) + (3 ∙ 10⁴) = 13 ∙ 10⁴
Nella notazione scientifica, tuttavia, il numero che precede la potenza del 10 viene indicato in termini di unità e quindi 13 ∙ 10⁴= 1.3 ∙ 10⁵
In alternativa si può esprimere 3 ∙ 10⁴ come 0.3 ∙ 10⁵. Si ha quindi:
( 1 ∙ 10⁵) + (3 ∙ 10⁴) = ( 1 ∙ 10⁵) + (0.3 ∙ 10⁵) = 1.3 ∙ 10⁵

Differenza

Come nella somma tutti i numeri devono essere espressi con lo stesso esponente del dieci: : se i numeri sono entrambi elevati alla stessa potenza essi si sottraggono pertanto:

(4 ∙ 10⁵) – ( 1 ∙ 10⁵) = 3 ∙ 10⁵

Rapporto

Si ricordi che il rapporto tra due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:

10^a/10^b = 10^a-b

Così, ad esempio:
8 ∙ 10⁵/ 2 ∙ 10³ = 4 ∙ 10²
30 ∙ 10^-7/ 10 ∙ 10² = 3∙ 10^{– 7 – 2} = 3 x 10^-9
4 ∙ 10⁴/ 1 ∙ 10^-2 = 4 ∙ 10^4-(-2) = 4 ∙ 10⁶

Prodotto

Si ricordi che il prodotto tra due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
10^a x 10^b = 10^a+b
Così, ad esempio:
10³ ∙ 10² = 10⁵
(6 ∙10⁵) (5 ∙ 10²) = 30 ∙ 10⁷ = 3 ∙ 10⁸
( 6 ∙ 10^-2) ( 4 ∙ 10^-5) = 24 ∙ 10^-7 = 2.4 ∙ 10^-6

Radice quadrata

Si divide l’esponente del 10 per 2 e si fa la radice del numero che precede la potenza del 10
Così ad esempio:
√9 ∙ 10⁶ = 3 ∙ 10^6/2 = 3 ∙ 10³
√4.9 ∙10¹¹
In questo caso l’esponente del 10 è un numero dispari ma se scriviamo 4.9 come 49 x 10^-1 allora si ha:
√4.9 ∙ 10¹¹ = √49 ∙ 10^-1 ∙ 1 ∙ 10¹¹ = √49 ∙ 10¹⁰ = 7∙ 10⁵

Radice cubica

Si divide l’esponente del 10 per 3 e si fa la radice cubica del numero che precede la potenza del 10
Così ad esempio:
∛27 ∙ 10⁶  = 3 ∙ 10²
∛12.5 ∙ 10⁴
Si noti che 12.5 ∙ 10⁴= 125∙ 10³ pertanto ∛12.5 ∙ 10⁴ = ∛125 ∙ 10³ = 5∙ 10¹