Il potenziale di Lennard-Jones. Esercizi svolti

Il potenziale di Lennard-Jones che porta il nome dello scienziato Sir John Lennard-Jones è un’approssimazione matematica che descrive l’interazione interatomica e intermolecolare in funzione della distanza tra atomi o molecole.

Tale equazione prende in considerazione la differenza tre le forze attrattive (dipolo-dipolo, dipolo-dipolo indotto e forze di London) e forze repulsive.

Si immaginino due palle di gomma separate tra loro e a grande distanza in modo da non interagire. Facendo diminuire la distanza tra le due palle esse iniziano ad interagire fino a quando esse non raggiungono una distanza r alla quale è presente una forza di attrazione.

Le palle possono essere ulteriormente avvicinate fin quando non si toccano. A questo punto, diventa sempre più difficile per diminuire ulteriormente la distanza tra le due sfere in quanto  per portare le palline più vicino avremmo bisogno di aggiungere quantità crescenti di energia perché quando le sfere cominciano a invadere lo spazio reciproco, si respingono essendo la forza di repulsione di gran lunga superiore alla forza di attrazione.

Potenziale di Lennard-Jones

Tale situazione è analoga a quella che si verifica negli atomi neutri o nelle molecole e può essere espressa dal potenziale di Lennard-Jones.

Il potenziale di Lennard-Jones è dato dalla seguente equazione:

V = 4 ε[(σ/r)¹² – (σ/r)⁶]

dove V è il potenziale intermolecolare tra due atomi o molecole, ε è la profondità della buca di potenziale e σ il diametro che approssima l’atomo in un modello a sfera rigida.

Il potenziale di Lennard-Jones è costituito da due termini:

il termine 4 ε(σ/r)¹² descrive le forze repulsive tra i nuclei che si instaurano quando essi a piccola distanza non risultano essere ben schermati mentre il termine 4 ε(σ/r)⁶ è il contributo attrattivo delle forze di van der Waals ed è un termine prevalente alle grandi distanze.

Il potenziale di Lennard-Jones è una funzione della distanza tra i centri di due particelle. Quando esse si trovano a distanza infinita la possibilità che interagiscano è pressoché nulla; infatti la loro distanza diminuisce la loro probabilità di interazione aumenta fino a raggiungere una distanza alla quale l’energia potenziale decresce da zero a un valore negativo.

Quando le particelle si legano la distanza dei loro centri continua a decrescere fino al raggiungimento di uno stato di equilibrio che corrisponde al minimo di energia potenziale.

Un ulteriore avvicinamento delle due particelle provoca un effetto di repulsione e l’energia aumenta rapidamente non appena la distanza di separazione scende al di sotto della distanza di equilibrio. In particolare quando la separazione tra le due particelle raggiunge una distanza poco più grande di σ l’energia potenziale raggiunge un valore minimo. A questo punto si raggiunge il massimo grado di stabilità e la situazione rimane tale a meno che una forza esterna non sia esercitata su di loro.

L’energia di legame è data dalla differenza tra il fondo della buca e l’energia di legame all’infinito. La curvatura sul fondo del pozzo determina la frequenza vibrazionale della molecola

Esercizi svolti

1)      I valori di ε e di σ per lo Xeno sono rispettivamente pari a 1.77 kJ/mol e 4.10 Angstroms. Determinare il valore del raggio di van der Waals per l’atomo di Xeno

Il raggio di van der Waals è pari a ½ della distanza internucleare tra le particelle non legate ed è correlato a σ dalla relazione r = σ/2 = 4.10 Å/2 = 2.05 Å

2)      Calcolare il potenziale intermolecolare tra due atomi di Argon separati da una distanza di 4.0 Å sapendo che ε = 0.997 kJ/mol e σ = 3.40 Å

Usiamo l’equazione V = 4 ε[(σ/r)¹² – (σ/r)⁶] e sostituiamo i valori:

V = 4 ∙ 0.997 [(3.40/ 4.0)¹² – (3.40/4.0)⁶] = – 0.96 kJ/mol