Accuratezza e precisione: esercizi

L’accuratezza di una misura è il grado di corrispondenza del dato teorico, desumibile da una serie di valori misurati con il dato reale o di riferimento.
La precisione di una misura è il grado di “convergenza” (o “dispersione”) dei singoli dati rispetto al valore medio della serie cui appartengono mentre

I termini precisione e accuratezza sono messi in relazione con gli errori sistematici e casuali.

Molti metodi analitici sono basati sulla misura della massa e del volume che vengono effettuate, rispettivamente, con bilance meccaniche o analitiche, e con numerosi dispositivi quali matracci tarati, pipette volumetriche, burette e cilindri graduati.

Tutte le misure, tuttavia, sono affette da un certo grado di incertezza: si possono verificare, infatti, errori sistematici che derivano da un problema nella tecnica utilizzata, nello strumento o nella procedura e errori casuali che derivano da fattori incontrollabili che influenzano la lettura della misura.

Per comprendere la differenza tra questi due termini consideriamo i risultati che hanno avuto quattro persone in una gara di tiro al bersaglio

accuratezza

Primo caso : tutti i tiri colpiscono in vicinanza del centro e pertanto si ha una buona accuratezza e una buona precisione.

Secondo caso: i tiri denotano una mira migliore (buona accuratezza) ma sono distribuiti su una superficie piuttosto ampia (scarsa precisione).

Terzo caso: i tiri colpiscono tutti a destra del centro e pertanto si ha una bassa accuratezza e una buona precisione. Nei laboratori di chimica, tale condizione si presenta, ad esempio, quando si verifica un errore nel sistema di misurazione stesso, ad esempio la bilancia non è tarata.

Quarto caso: tutti i tiri colpiscono il bersaglio ma sono lontani dal centro e colpiscono una superficie molto ampia pertanto si ha scarsa accuratezza e scarsa precisione.

Grandezze in gioco

Le grandezze usate per descrivere l’accuratezza sono l’errore assoluto e l’errore relativo.

Si definisce errore assoluto Ea la differenza tra il valore misurato x e il valore vero o accettato μ:
Ea = x – μ

Si definisce errore relativo Er il rapporto tra errore assoluto e il valore medio Xm :
Er = Ea/ Xm

La precisione fornisce informazioni sulla riproducibilità, senza alcun riferimento a uno standard e riflette errori casuali che non possono mai essere completamente eliminati da una procedura ed è considerata una deviazione centrata in ± rispetto ad un valore di riferimento

La precisione rappresenta la deviazione standard dei dati rilevati rispetto alla media campionaria. La deviazione standard detta anche scarto quadratico medio è un modo per esprimere la dispersione dei dati intorno a un indice di posizione che può essere costituito dalla media aritmetica.

La deviazione standard è definita come:
σ = √Σ (xi – Xm)2/N

essendo la sommatoria estesa a tutti i valori delle N unità statistiche.

Esercizi

 

  • Sono effettuate sette misurazioni relative alla densità dell’alluminio da due diversi analisti e si sono ottenuti i seguenti risultati:
analista 1 misurazioni 1 2 3 4 5 6 7
  densità 2.65 2.75 2.80 2.77 2.60 2.65 2.68

 

analista 2 misurazioni 1 2 3 4 5 6 7
  densità 2.65 2.73 2.71 2.74 2.65 2.64 2.78

 

Stabilire quale dei due analisti ha effettuato misure più precise.

Media delle misure effettuate dall’analista 1:

Xm = 2.65 + 2.75 + 2.80 + 2.77 + 2.60 + 2.56 + 2.68/7 = 2.70

L’errore assoluto è dato da:

Ea = 2.80 – 2.60 = 0.20

L’intervallo di errore è dato 0.20/2 = 0.10

La misura può quindi essere scritta come:

2.70 ± 0.10

Media delle misure effettuate dall’analista 2:

Xm = 2.65 + 2.73 + 2.71 + 2.74 + 2.65 + 2.64 + 2.78/7 = 2.70

L’errore assoluto è dato da:

Ea = 2.78 – 2.64 = 0.14

L’intervallo di errore è dato 0.14/2 = 0.07

La misura può quindi essere scritta come:

2.70 ± 0.07

L’analista 2 è stato più preciso rispetto all’analista 1 in quanto l’intervallo di valori è più piccolo

  • Calcolare la deviazione standard del seguente insieme di numeri: 1, 2, 3, 6

La media vale:

Xm = 1+2+3+6/4 = 3

Si calcola (xi – Xm)2

(1-3)2 = 4

(2-3)2 = 1

(3-3)2 = 0

(6-3)2 = 9

La deviazione standard:

σ = √Σ (xi – Xm)2/N = √4+1+0+9/4 = 1.87

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