In una espansione adiabatica quando il gas si espande esso compie lavoro sull’ambiente e la sua l’energia interna diminuisce. Dal Primo principio della termodinamica si ha:
dU = dQ – pdV
Poiché in una espansione adiabatica dQ = 0 si ha:
dU = – pdV (1)
L’energia interna U è funzione di T e di V ovvero U = U(T,V) pertanto:
dU = ( δU/δT)V dT + (δU/δV)T dV
nel caso di un’espansione adiabatica (δU/δV)T =0 e pertanto:
dU = ( δU/δT)V dT
per definizione il calore specifico a volume costante CV = ( δU/δT)V quindi:
dU = CV dT (2)
uguagliando la (1) e la (2) si ha:
– pdV = CV dT (3)
Dall’equazione di stato di un gas ideale p = nRT/V. Sostituendo a p tale valore nella (3) si ha:
– nRT/V dV = CV dT
Riarrangiando tale equazione si ha:
dT / T = – nR dV/ CV V (4)
Entalpia
Dalla definizione di entalpia:
dH = dQ + Vdp
in una espansione adiabatica ricordando che dQ = 0 si ha:
dH = Vdp (5)
quindi: dH = ( δH/δT)p dT + (δH/δp)T dV
Essendo (δH/δp)T dV= 0
Si ha: dH = ( δH/δT)p dT
per definizione il calore specifico a pressione costante Cp = ( δH/δT)p quindi:
dH = Cp dT (6)
Dall’equazione di stato dei gas ideali V = nRT/p. Sostituendo tale valore di V nella (5) si ha:
dH = nRT dp/p (7)
uguagliando la (6) e la (7) si ha:
Cp dT = nRT dp/p
Riarrangiando tale equazione si ottiene:
dT/ T = nR dp/ Cp p (8)
Uguagliando la (4) e la (8) si ha:
– nR dV/ CV V = nR dp/ Cp p
Ovvero semplificando nR si ha:
– dV/ CV V = dp/ Cp p
Che può essere scritta come:
– Cp/ CV dV/V = dp/p
Posto Cp/ CV = γ
Si ha – γ dV/V = dp/p
Considerando γ come una costante e integrando si ottiene:
– γ ln V2/V1 = ln p2/p1
Ovvero:
γ ln V1/V2 = ln p2/p1
che può essere scritta come:
ln (V1 γ/V2γ) = ln p2/p1
Eliminando i logaritmi:
V1 γ/V2γ = p2/p1
Che può essere scritta come:
p1V1γ = p2V2γ
che costituisce l’equazione dell’espansione adiabatica di un gas ideale.